Les estimateurs du RDS

1Le but de la présente annexe est d’expliciter les formules utilisées pour les estimations présentées dans notre article. Aussi, il ne s’agit pas ici de présenter la totalité des outils statistiques qui ont été proposés dans le sillage des travaux sur le RDS, mais d’aider le lecteur à comprendre, à partir d’une analyse relativement détaillée des trois techniques les plus utilisées dans les travaux disponibles pour produire des estimations (les « estimateurs » RDS I, RDS II et RDS SS), les enjeux techniques et sociologiques que cristallisent de telles tentatives de formalisation.

1. Les conditions de possibilité d’une estimation « naïve » : le recrutement RDS comme chaîne de Markov

2Dans les premiers travaux présentant le mode de recrutement RDS, la ligne argumentative principale suivie par D. Heckathorn a été d’essayer de démontrer qu’un recrutement par vagues successives était assimilable à un processus de Markov (Heckathorn, 1997, 2002). Cette hypothèse impliquerait qu’un recrutement de type RDS devrait logiquement déboucher, à partir d’un certain développement du processus, sur un état stationnaire à partir duquel les nouveaux recruté.e.s n’auraient plus aucun lien avec les graines initiales et seraient donc sélectionnés aléatoirement. Et l’échantillon ainsi constitué de tendre idéalement asymptotiquement vers les « vraies » proportions de la population. Soit N une population visée par une enquête et A une caractéristique de certains individus au sein de cette population, selon ces premiers articles, passé un certain nombre k de vagues de recrutement, on peut considérer qu’au sein de l’échantillon n ainsi constitué :

3où P_A est la proportion réelle d’individus présentant le caractère A au sein de la population N. Cette première manière de calculer P_A est qualifiée de « naïve » dans le sens où elle est tirée des données brutes de l’échantillon RDS.

4Une fois posée cette hypothèse d’un recrutement non biaisé si l’on multiplie les intermédiaires et les vagues, un épineux problème se pose alors : comment connaître a priori le nombre d’étape nécessaire pour atteindre l’equilibrium (soit le moment à partir duquel la proportion d’individus A au sein de l’échantillon n est la même que dans la population totale N) ? Par ailleurs, il paraît assez probable que la structure du réseau qui lie les membres de l’échantillon entre-eux et au reste de la population puisse orienter en priorité le recrutement vers certaines sous-parties de la population entretenant des liens nombreux les uns avec les autres membres et laisser durablement les groupes les moins connectés à l’écart. L’enjeu statistique s’est alors très vite fixé sur la recherche de techniques visant à compenser cette potentielle sous-représentation des groupes sociaux plus faiblement connectés – soit potentiellement les plus vulnérables des populations visées initialement par les enquêtes par RDS (usagers de drogues injectables, personnes atteintes du VIH…) – sans avoir besoin de multiplier les vagues de recrutement ad vitam æternam.

2. Partir des données réseaux pour construire une estimation : l’estimateur RDS I

5Un premier modèle « d’estimateur » est formalisé en 2004, généralement désigné par la suite sous l’appellation « estimateur RDS I » (Salganik & Heckathorn, 2004). L’idée qui oriente la stratégie analytique empruntée pour mettre en place cet estimateur est de faire des estimations de la structure du réseau global de la population à partir des données RDS et de déduire de ces estimations les proportions des différents sous-groupes d’individus qui composent la population visée. Ici l’hypothèse du recrutement RDS comme chaîne de Markov n’est pas mobilisée. Même si la robustesse de cet estimateur a été largement surpassée par les estimateurs apparus par la suite (de fait, nous ne l’utilisons pas dans notre article), il est intéressant à présenter tant sa formalisation révèle les fondements de l’outillage statistique RDS. Pour les besoins de la présentation, considérons le réseau social fictif représenté dans la Figure 1.

6Il apparaît ici premièrement que les « ronds » ont en moyenne plus de liens avec d’autres individus que les « triangles » – i.e. leur degré est en moyenne plus important. Deuxièmement, entre les individus du groupe des « ronds » les liens sont fréquents alors que c’est moins le cas pour le groupe des «triangles». En d’autres termes, l’homophilie des « ronds » apparaît ici beaucoup plus prononcée que l’homophilie des « triangles ». De ce fait, les chances de compter un individu de type « rond » parmi les contacts des « triangles » (soit le nombre total de lien divisé par le nombre de ponts) sont plus élevés que les chances de trouver un « triangles » parmi les contacts des « ronds ». Le Tableau 1 résume les informations relatives au réseau et aux liens qu’entretiennent les deux sous-groupes considérés.

Tableau 1 : Données « réseau » fictives

	Nombre moyen de degrés (D)	Nombre total des liens	Nombre de ponts	Probabilités de liens inter-groupe (C)
Triangles	3	12	6	0.5
Ronds	6	36	6	0.16

Lecture : Les « triangles » ont en moyenne 3 connexions avec d’autres individus. Tous les individus « triangles » comptabilisent au total 12 connexions et ont une chance sur deux (probabilité de liens inter-groupe= 0.5) de compter parmi leurs contacts des individus « ronds ».

7Le cœur de la démonstration menée par M. Salganick et D. Heckathorn est de montrer que l’on peut donner une estimation juste des proportions des différents types d’individus dès lors que l’on dispose des quelques données « réseaux » présentées dans le Tableau 1, et plus particulièrement, le nombre moyen de degré au sein des différentes sous-populations d’individus visées par l’enquête (noté D) et une estimation du ratio de chance de compter parmi ses contacts des individus appartenant à un groupe différent du sien (noté C), soit une mesure qui renseigne l’homophilie relative des différentes sous-populations. L’équation 2 montre comment obtenir la proportion des individus de type A et/ou B au sein de la population visée en disposant uniquement de ces données relative aux liens qu’entretiennent ces individus entre eux et avec les membres de l’autre type.

8où P_A désigne la proportion réelle d’individu de type A. En reprenant les données relative au réseau présenté dans la Figure 1 entre individus « ronds » (R) et individus « triangles » (T) – soit D_T=3, D_R=6, C_TR=0.5, C_RT=0.16 – on peut ainsi retrouver les proportions de P_R (0.6) et de P_T (0.4) dans la population initiale sans nécessairement avoir d’informations sur le nombre exact d’individus composant ces deux types.

9Reste alors aux deux auteurs à déterminer dans quelle mesure les données récoltées par RDS peuvent être utilisées dans ce cadre. Les données « réseaux » issues d’une enquête RDS sont de deux ordres. D’une part, on demande à chaque enquêté.e.s d’estimer la taille de son réseau personnel au sein de la population cible. D’autre part, les profils des personnes qu’un.e enquêté.e.s recrute permette de donner des renseignements sur la plus ou moins forte homophilie des différentes sous-population en présence. Par exemple, au sein d’une population où elles sont minoritaires comme celle des musicien.ne.s professionnel.le.s, si les femmes recrutent plus de femmes au cours des vagues successives, on pourra en conclure que le groupe des femmes musiciennes est relativement « homophile ».

10Des données sur le recrutement, on peut déduire la valeur de C si l’on part de l’hypothèse que les enquêté.e.s choisissent aléatoirement dans leur réseau personnel les personnes à recruter. Pour estimer le degré moyen (D), il paraît difficile de se baser sur la moyenne simple des degrés individuels recueillis via le RDS tant la probabilité que ce mode de recrutement favorise les personnes les mieux connectées est importante. Aussi, les auteurs conseillent de se baser sur la moyenne harmonique des degrés individuels de l’échantillon RDS – soit un type de moyenne qui permet de donner un appréciation plus lissée de la connectivité des individus interrogés. Pour l’ensemble des individus i de type A au sein de l’échantillon RDS n (c’est à dire les individus composant l’ensemble S_A), ce « degré moyen » se calcule comme suit :

11où D_A désigne donc une approximation du degré moyen des individus A appartenant à la population visée.

12Si l’on désigne également par C l’approximation de la probabilité des liens inter-groupes calculé sur la base des recrutements opérés durant la procédure RDS, à partir de l’équation (2), on obtient donc l’équation 4 suivante :

13où P_A^{RDS I} désigne une approximation de la proportion d’individus A au sein de la population visées obtenue via un estimateur de type « RDS I ».

14L’un des principaux problèmes que soulève cet estimateur est la nature relativement irréaliste des hypothèses sur lesquelles il se base. D’un point de vue analytique, pour que la valeur de P_A^{RDS I} corresponde à la « vraie » estimation de A, on suppose i) que le recrutement est fait avec remplacement ; ii) que le réseau que forme la population visée est à une seule composante ; iii) que les recruteurs choisissent aléatoirement leurs recrutés ; iv) que les recruteurs ne recrutent qu’une personne à la fois ; v) que les recruteurs sont à même de donner avec précision l’étendue de leurs réseaux personnels ; vi) que les liens signalés par les individus soient réciproques. Si les estimateurs formalisés par la suite ont permis de s’affranchir de certaines de ces hypothèses de base comme nous le verrons (notamment celle du recrutement avec remplacement), pour la majeure partie d’entre elles, elles conditionnent également leurs validité.

15Les autres problèmes que pose ce premier estimateur sont d’ordre plus pratique. Par exemple, dès lors qu’il s’agit de calculer des estimations pour une variable à plus de deux modalités, les calculs deviennent très vite compliqués. Ensuite, l’estimateur « RDS I » fonctionne uniquement pour des variables catégorielles. Et enfin, il ne permet pas – ou au risque de calculs et de conjectures assez complexes – de calculer une variance et un écart de confiance.

3. Pondérer à partir des probabilités d’inclusion : l’estimateur RDS II

16Ces importantes limitations ont poussé D. Heckathorn et ses collaborateurs à approfondir l’outillage statistique du RDS. Dans un article de 2008 (Volz & Heckathorn, 2008) est ainsi formalisé un deuxième type d’estimateur, l’estimateur RDS II, qui a permis de dépasser certains des problèmes posé par son prédécesseur et qui est aujourd’hui l’estimateur le plus souvent utilisé dans les études mobilisant une méthodologie de type RDS.

17La stratégie empruntée ici est radicalement différente. L’idée n’est pas de tenter de reconstituer la structure du réseau complet de la population visée mais de repartir de l’hypothèse que l’échantillon recruté par RDS est un échantillon potentiellement non biaisé, ou, plus précisément, qu’on pourrait « redresser » grâce à certaines techniques statistiques spécifiques issues de la théorie des sondages – et notamment les travaux de Morris Hansen et Thomas Hurwitz (1943). Nous ne détaillerons pas ici tout le processus suivi par E. Volz et D. Heckathorn dans leur article. Nous nous conterons de dire qu’à partir de l’estimateur « Hansen-Hurvitz » – généralement utilisé pour calculer la taille des différentes composantes d’une population finie au moyen d’un plan de sondage avec remise – les deux auteurs déduisent que l’on peut, sous certaines conditions, considérer que la proportion d’une sous-population d’individus i présentant le caractère A (regroupés au sein d’un ensemble S_A) peut être calculée comme suit :

18où P_A^{RDS II} représente la valeur de l’estimation de la proportion des individus A calculé grâce à l’estimateur RDS II, S représente l’ensemble de tous les individus i de la population ciblée par l’enquête et d_i représente l’estimation du degré moyen des individus i au sein de l’ensemble considéré, calculé à partir du même principe que l’équation (3).

19De manière à favoriser une lecture plus intuitive de la manière dont fonctionne cet estimateur, on peut opérer quelques simplifications sur l’équation (4) pour obtenir l’équation suivante (Volz & Heckathorn, 2008) :

20où n représente la taille de l’échantillon recruté par RDS, n_A le nombre d’individus présentant le caractère A au sein de cet échantillon, d représente le degrés moyen au sein de l’échantillon n et d_A le degré moyen des individus appartenant à n_A. Dans l’équation (5), on voit donc clairement qu’il s’agit ici d’opérer une pondération sur les estimations tirées des données brutes (n_A/n) grâce à un indicateur d’inclusion potentielle des catégories d’individus A établi grâce aux données réseaux (d/d_A).

21Cet estimateur, beaucoup plus simple à calculer que le précédant, présente l’avantage d’être adapté à tout type de variable (catégorielles à plus de deux modalités et continues). Grâce aux travaux de M. Hansen et W. Hurwits, il permet également de calculer une variance, bien que celle-ci s’avère souvent assez approximative (Goel & Salganik, 2010). Pour le détail des calculs de cette variance, nous renvoyons à l’article original (Volz & Heckathorn, 2008, pp. 89-91).

22Néanmoins, la validité analytique de cet estimateur repose sur les mêmes hypothèses que l’estimateur RDS I quand à la structure du réseau de la population cible et au comportement des graines et de leurs germes. Les études comparatives menées sur la base simulation montrent néanmoins que les estimations produites par l’estimateur RDS II sont largement plus robuste au non respects de ces différentes hypothèses que celles calculées via l’estimateur RDS I (Lu et al., 2012 ; Tomas & Gile, 2011 ; Volz & Heckathorn, 2008 ; Wilhelm, 2014).

4. Prendre en compte le non-remplacement : l’estimateur RDS SS

24La critique principale formulée par K. Gile à l’encontre des travaux de E. Volz et D. Heckathorn est relativement simple à comprendre. En fonctionnant comme si la taille de la population finale visée par l’enquête était infinie (parce que fonctionnant sous la condition que l’échantillonnage est avec remise), l’estimateur « RDS II » peut amener à donner des estimations trop élevées, surtout dans les cas où la taille de l’échantillon est importante ou dans les cas où la population visée est très petite.

25Pour contre-balancer cette tendance, K. Gile propose ainsi d’inclure dans le calcul de l’estimateur une fonction de l’approximation de la taille de la population ciblée et de la probabilité d’inclusion des individus échantillonné au relativement au moment où ils sont recruté. En effet, si on se situe dans le cadre d’un échantillonnage sans remplacement au sein d’une population de taille finie, un individu recruté lors de la première vague a des probabilité de recrutement plus faible qu’un individu recruté en vague huit ou neuf. C’est cette donnée que permet de prendre en compte l’estimateur formalisé par K. Gile. Parce qu’il amène à considérer le recrutement RDS comme une suite d’échantillonnage successif, ce dernier estimateur est appelé RDS SS pour « successive-sampling ». Il se calcul comme suit :

26où P_A^{RDS SS} représente la valeur de l’estimation de la proportion des individus A calculé grâce à l’estimateur RDS SS et où π_i représente une constante calculée grâce à l’algorithme mis au point par K. Gile, prenant en compte donc la taille de l’échantillon, la taille probable de la population et les probabilités d’inclusion de l’individu i étant donné l’étape du processus de sampling à laquelle il a été recruté – pour plus de détail, nous renvoyons à son article (Gile, 2011). En comparant les équation (6) et (4), on voit assez clairement ici que l’estimateur RDS SS reprend dans les grandes lignes les fondement de l’estimateur RDS II, en ajustant donc la pondération au regard des probabilités de recrutement des individus au moment de leur recrutement dans le cadre d’un échantillonnage avec remise.