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Grandeur infinie en puissance et grandeur infinie en acte

(Aristote, Physique, iii)
Edmond Mazet
p. 63-87

Résumés

Dans un passage de Physique iii (7, 207b15-21), Aristote s’exprime d’une manière qui suppose valide l’implication suivante : « Si une grandeur peut être infinie en puissance, une telle grandeur peut aussi être infinie en acte ». Cette implication a intrigué les commentateurs tant anciens et médiévaux que modernes. Ces derniers se sont en général bornés à constater que l’implication n’est pas logiquement valide, sans expliquer comment et en quel sens Aristote avait pu la tenir pour telle. En rapprochant le passage précité d’un autre passage de Physique iii (6, 206b16-27), le présent article en propose une interprétation qui semble lever toutes les difficultés. Au Moyen Age, le sens de l’implication a été très discuté, et l’interprétation proposée ici a été vue et soutenue par plusieurs commentateurs : on l’étudie chez quelques-uns de ceux-ci en situant leur position dans le cadre du débat médiéval sur la question, notamment en référence aux deux interprétations alors fameuses proposées par Averroès.

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Texte intégral

I. Position du problème

  • 1  Δυνάμει μέν ἐστιν [ἄπειρος ὁ ἀριθμός], ἐνεργείᾳ δʹ οὐ, ἀλλʹ ἀεὶ ὑπερβάλλει τὸ λαμβανόμενον παντὸς (...)

1Dans la partie du livre iii de la Physique consacrée au problème de l’infini se trouve un passage qui a beaucoup intrigué les commentateurs, notamment parce que le Stagirite y pose une implication dont la validité semble tout à fait problématique. Après avoir dit que le nombre est infini en puissance, quoiqu’il ne le soit pas en acte, parce qu’il peut croître de manière à dépasser toute multitude finie donnée1, Aristote dit qu’il n’en est pas de même dans le cas de la grandeur :

  • 2 Phys. iii, 7, 207b15-21.

Dans le cas des grandeurs, c’est le contraire [de ce qui se passe dans le cas du nombre]. En effet, le continu se divise en choses infinies [en multitude], mais il n’est pas infini dans le sens du plus grand. Car aussi grand il est possible qu’il soit en puissance, aussi grand il est possible aussi qu’il soit en acte. De sorte que, comme il n’y a pas de grandeur sensible infinie, il n’est pas possible de dépasser toute grandeur limitée. Car alors, il y aurait quelque chose de plus grand que le ciel2. 

2Comme nous aurons fréquemment à nous référer à ce passage, ainsi qu’à un autre qui sera introduit un peu plus bas, nous appellerons le présent passage « texte i », et nous appellerons l’autre « texte ii ».

3L’assertion qui pose problème se trouve aux lignes 17-18 du texte i :

  • 3  Ὅσον γὰρ ἐνδέχεται δυνάμει εἶναι [τὸ συνεχές], καὶ ἐνεργείᾳ ἐνδέχεται τοσοῦτον εἶναι.

(A) Aussi grand il est possible [que le continu] soit en puissance, aussi grand il est possible aussi qu’il soit en acte3.

4Aristote poursuit aussitôt en appliquant cela à l’infini :

  • 4  Ὥστε ἐπεὶ ἄπειρον οὐδὲν ἔστι μέγεθος αἰσθητόν, ὀυκ ἐνδέχεται παντὸς ὑπερβολὴν εἶναι ὡρισμένου μεγέ (...)

(B)… de sorte que, puisqu’il n’existe aucune grandeur sensible infinie, il n’est pas possible de dépasser toute grandeur limitée »4.

  • 5  Au sens le plus général de l’expression, une grandeur infinie en puissance est simplement une gran (...)

5Si Aristote ne faisait pas cette application à l’infini, l’assertion (A) ne ferait problème pour personne. Nul ne doute en effet que s’il est possible qu’une grandeur soit en puissance de x pieds, x étant un fini quelconque, il est possible aussi que cette grandeur soit en acte de x pieds. À vrai dire, c’est là une pure tautologie, car dans le domaine du fini, dire qu’une grandeur est en puissance de x pieds veut précisément dire qu’elle peut être en acte de x pieds. Mais il n’en va plus de même dans le domaine de l’infini. Car dire qu’une grandeur est infinie en puissance, ce n’est pas dire qu’elle peut être infinie en acte, c’est dire qu’elle peut croître de manière à dépasser toute grandeur finie donnée5. L’assertion (A) signifie donc dans ce cas que s’il est possible qu’une grandeur croisse de manière à dépasser toute grandeur finie donnée, il est aussi possible qu’une telle grandeur soit infinie en acte. Que ce soit bien ainsi qu’Aristote l’entend, cela apparaît clairement dans l’assertion (B), qu’il déduit de (A) comme le montre ὥστε. Ce qu’il y dit n’est pas autre chose que la contraposée de la proposition que nous venons d’énoncer : puisqu’il n’y a pas de grandeur infinie en acte, il n’est pas possible qu’une grandeur croisse de manière à dépasser toute grandeur finie donnée.

6Nous rencontrons donc en définitive dans le texte i l’affirmation que l’implication suivante tient :

(C) Si une grandeur peut être infinie en puissance, une telle grandeur peut aussi être infinie en acte,

  • 6  En fait, on peut encore distinguer deux interprétations possibles de (C). D’une part on peut consi (...)

7cette implication s’entendant comme je l’ai dit6.

8L’implication (C) pose deux problèmes :

(1) Elle ne semble pas valide en elle-même, ou du moins on ne voit pas de façon évidente en quel sens elle le serait.

(2) Aristote considère manifestement que l’implication correspondante ne vaut pas pour les nombres ; mais pourquoi vaudrait-elle dans un cas et pas dans l’autre ?

9Avant de discuter ces deux difficultés et de proposer une interprétation de l’implication (C) qui les résout, rappelons que cette implication se retrouve en un autre endroit de Phys. iii, à savoir 6, 206b16-27 :

  • 7  C’est ainsi que j’interprète κα ἔσται ἔλαττον, en accord avec Carteron, Pellegrin et Stevens. Hus (...)
  • 8  Ὥστε δὲ παντὸς ὑπερβάλλειν κατὰ τὴν πρόσθεσιν, οὐδὲ δυνάμει οἷόν τε εἶναι, εἴπερ μὴ ἔστι κατὰ συμβ (...)

Et l’infini par addition est infini en puissance de cette manière, lui que nous disons être en quelque sorte le même que l’infini par division : en effet, on peut toujours prendre quelque chose en dehors de lui. Mais cependant il ne dépassera pas toute grandeur déterminée comme, dans la division, on dépasse [en petitesse] toute grandeur déterminée, et il sera [toujours] plus petit [qu’une certaine grandeur déterminée]7. De sorte que dépasser par addition toute [grandeur], cela est impossible même en puissance, à moins qu’il n’existe quelque chose qui soit, par accident, infini en acte8, comme les physiologues disent qu’est infini le corps situé hors du monde, dont la substance est l’air ou quelque autre chose de ce genre. Mais s’il n’est pas possible qu’il y ait un corps sensible ainsi infini en acte, il est clair qu’il n’y aura même pas d’infini en puissance, si ce n’est de la manière qui a été dite, à l’inverse de la division.

10C’est ce passage que nous appellerons le « texte ii ».

11La phrase mise en italiques est clairement une formulation de l’implication (C), et dans la suite du passage l’assertion (B) en est déduite exactement comme dans le texte i.

  • 9 Πῶς λέγεῖ διὰ τοῦτο μὴ εἶναι ὑπερβολὴν παντὸς ὡρισμένου μεγέθους, ὅτι μὴ ἔστιν ἐνεργείᾳ μέγεθος αἰσ (...)
  • 10 L’ensemble du passage de Simplicius est p. 508-509 Diels.

12Les deux difficultés que je viens de présenter ont été signalées dès l’Antiquité. Simplicius, commentant l’assertion (A), reconnaît que dans le cas de l’infini elle est équivalente à l’implication (C), qu’il formule ainsi : « La raison pour laquelle il n’y a pas de dépassement de toute grandeur limitée, c’est qu’il n’y a pas de grandeur sensible infinie en acte », et il pose la question de savoir comment Aristote l’entendait9. Il ne donne pas de réponse à cette question. Il discute assez longuement la difficulté (2), sans donner non plus de solution bien claire, et il termine en laissant ouverte la question de savoir si l’assertion (A) est vraie10.

  • 11 Hussey 1983, p. 85.
  • 12 Pellegrin 2000. Dans l’ancienne traduction de Carteron 1926-1931 et dans la traduction récente de S (...)
  • 13 Trifogli 2000, p. 110. Dans ce que Trifogli appelle l’inférence (PA) on reconnaît une forme de ce q (...)

13Les commentateurs modernes qui ont porté un jugement en leur propre nom sur l’implication (C) ont estimé qu’elle était tout simplement invalide, en s’en tenant au point de vue logique, et ils n’ont pas expliqué, autant que je sache, comment Aristote avait pu la tenir pour valide. E. Hussey, commentant le texte ii, écrit : « The reasoning here is faulty. If it is granted that there cannot be an infinitely extended body, as Aristotle claims to prove in ch. 5, it still does not follow that there cannot be a corresponding potential infinite »11. Jugement repris par P. Pellegrin, dans sa traduction récente de la Physique : « Comme le remarque Hussey […], cette proposition prise en elle-même est fausse, parce que le fait qu’il n’existe pas de corps indéfiniment étendu en acte n’entraîne pas qu’il n’en existe pas un en puissance »12. Dans un ouvrage récent consacré à certains commentateurs médiévaux de la Physique, où elle étudie notamment les difficultés d’interprétation que leur pose l’implication (C), C. Trifogli, qui cite par ailleurs Hussey, écrit en son propre nom : « In fact, as Simplicius had suspected, Aristotle’s argument seems faulty. For this argument is based on the inference : (PA) “If, for every given magnitude, it is possible that a greater magnitude exists, then it is possible that an infinitely extended magnitude exists”. However, inference (PA) (that is, from potential infinite to actual infinite), is not logically sound … »13.

II. Interprétation de l’implication (C) à partir du texte ii

  • 14 Cela est marqué par l’adjectif αἰσθητὸν qui qualifie, dans les deux passages, la grandeur infinie e (...)

14Je vais maintenant donner ma propre solution. On ne peut qu’être d’accord avec le jugement unanime des commentateurs précédemment cités : du point de vue logique, l’implication (C) n’est pas valide. On ne peut la comprendre qu’en se plaçant au point de vue physique (qui est celui d’Aristote)14, et en cherchant à répondre, de ce point de vue, à la question que posait Simplicius : comment Aristote l’entendait-il ? Je vais montrer que l’implication (C) peut être comprise très naturellement en un sens qui résout les difficultés 1) et 2). En effet

(1) Comprise comme je propose de la comprendre, l’implication (C) est parfaitement valide et n’a plus rien de mystérieux.

(2) Cette interprétation permet de comprendre très simplement pourquoi l’implication correspondante ne vaut pas pour les nombres.

15Ce n’est pas à partir du texte i qu’on peut arriver à cette interprétation, et j’admets que ce passage resterait désespérément énigmatique s’il n’était pas éclairé par le texte ii. En revanche, il me semble que ce dernier, si on tient compte de son contexte, se prête naturellement à l’interprétation que je propose. C’est donc à partir de lui que je vais exposer celle-ci, et je donnerai ensuite mon interprétation du texte i.

  • 15 Cf supra n. 5.

16Si on considère le texte ii dans son contexte, disons en prenant le texte à partir de 206b3, on voit qu’Aristote y dit comment l’infini par addition est relié à l’infini par division en procédant « à l’inverse » de celui-ci. On part d’un continu fini A. On peut diviser celui-ci en parties prises successivement selon un rapport (de plus petite inégalité) λ fixé. C’est-à-dire qu’on en prend d’abord une partie A1 telle que A1/A = λ, ce qui laisse un reste R1 ; puis on prend de R1 une partie A2 telle que A2/R1 = λ, et ainsi de suite (on prend chaque fois du dernier reste obtenu une partie qui est à ce reste dans le rapport λ). On peut continuer ainsi indéfiniment sans jamais épuiser le continu A, puisqu’il y a toujours un reste. On obtient ainsi une suite infinie de grandeurs A1, A2, A3, etc. On peut, en « renversant » la division, les ajouter progressivement, c’est-à-dire former les sommes S2 = A1 + A2, S3 = A1 + A2 + A3, etc. Ces sommes forment une grandeur infinie en puissance au sens général de l’expression, c’est-à-dire en ce sens qu’à chaque grandeur Sn obtenue on continue d’ajouter quelque chose15. Mais il ne s’ensuit pas que cette grandeur soit infinie en puissance au sens qui est en question ici, c’est-à-dire en ce sens qu’elle dépasserait toute grandeur finie, car Sn ne dépasse jamais la grandeur initiale A.

17Pour qu’il soit possible, en procédant ainsi, de dépasser toute grandeur finie, il faudrait que la grandeur A dans laquelle sont successivement prélevées les parties A1, A2, A3, etc, soit infinie en acte. Dans ce cas, on pourrait, par exemple, prélever ces parties de manière qu’elles soient toutes égales entre elles, et on pourrait poursuivre indéfiniment ce prélèvement sans épuiser A ; alors, si on additionnait progressivement ces parties comme il a été dit, la grandeur Sn croîtrait de manière à dépasser toute grandeur finie. Mais si une telle grandeur infinie en acte n’existe pas, une addition de grandeurs ne conduira jamais à dépasser toute grandeur finie, car on ne pourra additionner que des parties prélevées dans une grandeur finie, et on n’aura donc pas non plus de grandeur infinie en puissance au sens du dépassement de toute grandeur finie.

  • 16 Pourtant, Simplicius, bien qu’il n’ait pas vu clairement cette interprétation, a formulé l’implicat (...)

18Ce n’est ni plus ni moins que cela, à mon avis, qu’Aristote veut dire quand il dit que « dépasser par addition toute [grandeur], cela est impossible même en puissance, à moins qu’il n’existe quelque chose qui soit, par accident, infini en acte ». On voit alors en quel sens il faut entendre l’implication (C) : la possibilité d’une grandeur infinie en puissance (au sens du dépassement de toute grandeur finie) entraîne la possibilité d’une grandeur infinie en acte, non en ce sens qu’elle l’impliquerait logiquement, mais en ce sens qu’elle la présuppose physiquement. Si l’on préfère, elle l’implique, non comme une cause implique son effet, mais comme un effet implique sa cause, en tant que nécessairement requise pour que l’effet soit : si, tant en puissance qu’en acte, une grandeur infinie était possible, c’est la seconde possibilité qui serait le διότι de la première, et non l’inverse. Les commentateurs n’ont pu que constater l’impossibilité de comprendre l’implication (C) dans le sens où la première possibilité serait le διότι de la seconde : car c’est l’inverse qui est vrai16.

19Cette interprétation résout les difficultés (1) et (2). En effet :

  • 17 Cf infra section iv.2.

(1) Il doit être clair pour le lecteur que l’implication (C) ainsi entendue est valide. Certes, on pourrait objecter qu’une grandeur infinie en puissance par addition (au sens du dépassement de toute grandeur finie) est possible sans que préexiste une grandeur infinie en acte, mais sous d’autres conditions, par exemple si préexistait une infinité en acte de grandeurs finies égales entre elles, ou encore – comme certains commentateurs latins du xive siècle l’ont envisagé17 – si des grandeurs finies égales entre elles étaient indéfiniment engendrées de novo, voire créées ex nihilo. Mais il est clair que de telles conditions se situent hors de l’horizon d’Aristote. Dans le cadre aristotélicien, l’implication est bel et bien valide.

(2) On comprend aisément pourquoi l’implication correspondante ne vaut pas pour les nombres. On sait que pour Aristote, si le nombre peut croître par addition de manière à dépasser tout nombre fini, ce n’est pas en répétant indéfiniment l’addition directe d’une unité à un nombre préexistant. C’est là une manière de faire croître le nombre qui peut bien être imaginée par un mathématicien raisonnant sur des nombres abstraits et des unités abstraites, mais qui n’est pas physiquement réalisable car, compte tenu de la finitude du monde, il n’est pas possible d’ajouter indéfiniment un homme à des hommes, un cheval à des chevaux, une pierre à des pierres. Or, Aristote ne s’intéresse à l’infini que du point du vue physique et, de ce point de vue, la seule manière qu’il connaisse de faire croître indéfiniment le nombre est d’utiliser la divisibilité indéfinie du continu : si j’ai divisé un continu en n parties, et si je divise en deux la ne partie, j’obtiens n+1 parties, et cela indéfiniment. En fait, si Aristote admettait de faire croître le nombre par addition directe d’unités, l’implication (C) vaudrait pour les nombres comme pour les grandeurs, et dans le même sens : pour qu’il puisse exister un nombre infini en puissance, il faudrait que préexiste un nombre infini en acte, c’est-à-dire une multitude actuellement infinie d’unités dans laquelle on prélèverait les unités qu’on ajouterait progressivement. Mais de la façon dont il s’y prend, la possibilité de faire croître le nombre de manière à dépasser tout nombre fini ne présuppose rien de tel, elle présuppose seulement la divisibilité indéfinie du continu.

III. Interprétation du texte i

20Dans le cas des grandeurs, c’est le contraire [que dans le cas du nombre]. En effet, le continu se divise en choses infinies [en multitude], mais il n’est pas infini dans le sens du plus grand. Car aussi grand il est possible qu’il soit en puissance, aussi grand il est possible aussi qu’il soit en acte. De sorte que, comme il n’y a pas de grandeur sensible infinie, il n’est pas possible de dépasser toute grandeur finie. Car alors, il y aurait quelque chose de plus grand que le ciel .

21Hussey commente ce passage p. 90-91. Il est embarrassé pour l’interpréter : il est obligé d’admettre que l’argument qui commence à « car aussi grand » contient une prémisse dont on se demande quel rôle elle joue. Il analyse cet argument ainsi : les prémisses, dit-il, sont apparemment les suivantes :

(i) for any size S, if it is possible for there to be a body potentially of size S, it is possible for there to be a body actually of size S [c’est l’assertion (A)] ;

(ii) no sensible magnitude is infinite [c’est l’antécédent de l’implication (B), contraposée de (C)] ;

(iii) nothing can be greater than the world.

22La conclusion est :

(iv) it is not possible for there to be a body exceeding every definite size.

23Hussey commence par une discussion sur le sens de (iv), qui peut s’entendre soit au sens de l’impossibilité d’un infini actuel (interprétation qu’il n’écarte pas d’emblée) soit au sens de l’impossibilité d’un infini potentiel (interprétation qu’il juge « plus intéressante »). Dans le cadre de la première interprétation, il note que (iv) est déjà contenue dans (ii), mais il envisage que (ii) puisse être une « interpolation fautive ». Dans cette hypothèse, (iv) serait déduite de (iii), mais alors « that would leave (i) redundant ».

24Pour moi, il me paraît clair que (iv) doit s’entendre au sens de l’impossibilité d’un infini potentiel, car l’argument est destiné à justifier ce qui a été dit dans la phrase précédente : « le continu se divise en choses infinies [en multitude], mais il n’est pas infini dans le sens du plus grand ». Or la divisibilité indéfinie du continu est une infinitude potentielle pour Aristote (on sait surabondamment que pour lui le continu n’est pas divisible en une infinité actuelle de parties), et par conséquent la non-infinitude par addition qui est opposée à cette infinitude par division doit être la négation d’une infinitude potentielle.

  • 18  Je comprends mal l’insistance de Hussey (ici et ailleurs, par exemple dans son commentaire sur le (...)

25Hussey note qu’on pourrait démontrer (iv) ainsi entendue en utilisant seulement (i) et (iii). Il souligne que (iii) doit s’interpréter comme signifiant que rien ne peut être plus grand qu’une certaine taille finie et fixe qu’il note W18. Le raisonnement qu’il propose est le suivant : « from (i) and (iii) it follows that it is not possible for there to be a body potentially of size X, where X is any size greater than W. Hence, obviously, no body is expandible ad infinitum, since it is not even expandible to (say) 2 W ». Il ajoute que la présence de (ii) est « still unexplained ».

26Le raisonnement proposé par Hussey est intéressant, car il montre qu’il était possible à Aristote de démontrer ce qu’il voulait démontrer sans faire appel à l’implication (C), et en ne faisant appel à l’assertion (A) que dans son application finitiste, qui ne fait pas problème. Mais il me semble que c’est au prix d’admettre, quoique Hussey ne fasse ici que le suggérer, que (ii) est une interpolation. Si c’est le cas, alors le problème de l’implication (C) ne se pose plus du tout à propos du texte i, qui est celui à partir duquel il a principalement été discuté dans la tradition ! Il faut toutefois noter que, même dans ce cas, il se poserait encore à propos du texte ii.

27Mais on peut interpréter le passage d’une manière qui fait sens de (ii) – et qui, bien entendu, fait alors appel à l’implication (C), ou plus exactement à sa contraposée (B). Il suffit d’admettre que « car alors, il y aurait quelque chose de plus grand que le ciel » justifie l’antécédent de l’implication (B). Le raisonnement est alors le suivant :

(i) Aussi grand il est possible qu’un continu soit en puissance, aussi grand il est possible aussi qu’il soit en acte [assertion (A)] ;

(ii) aucune grandeur sensible n’est infinie [en acte], car alors [non-iii] il y aurait quelque chose de plus grand que le ciel ;

(iv) donc il n’est pas possible de dépasser [en puissance] toute grandeur finie.

28Le fait que (non-iii) soit rejeté à la fin peut s’expliquer par le fait qu’Aristote l’avait d’abord omis et l’a ajouté après coup (n’oublions pas que la Physique n’est pas un ouvrage soigneusement révisé en vue d’être publié), ou encore qu’il l’avait omis comme trop évident, et qu’il a été ajouté par un éditeur.

29On peut trouver bizarre qu’Aristote ait démontré le résultat qu’il voulait obtenir au moyen d’une prémisse problématique et dont, comme le montre Hussey, il pouvait se passer. Mais d’une part, ce ne serait sans doute pas le seul endroit où il démontrerait quelque chose au moyen de prémisses inutilement fortes ; et d’autre part, si on admet mon interprétation, la prémisse (i) n’est plus du tout problématique, ce qui diminue nettement la difficulté.

30Mais la possibilité la plus intéressante à considérer serait – si on est disposé, comme Hussey, à envisager une interpolation – que ce soit (non-iii) qui soit interpolé plutôt que (ii). Aristote démontrerait alors l’impossibilité d’une grandeur infinie en puissance sans faire appel à la finitude du monde, tout comme au chapitre 5 il donne pour l’impossibilité d’un corps infini en acte des arguments indépendants de la finitude du monde. Son raisonnement serait le suivant :

(i) Aussi grand il est possible qu’un continu soit en puissance, aussi grand il est possible aussi qu’il soit en acte [assertion (A)] ;

(ii) aucune grandeur sensible n’est infinie [en acte], [comme on l’a démontré au chap. 5] ;

[conclusion :] il n’est pas possible de dépasser [en puissance] toute grandeur finie.

31L’interpolateur, inintelligent, aurait aplati la démarche d’Aristote avec le marteau-pilon de la finitude du monde.

32Dans cette hypothèse, l’implication (C) joue un rôle essentiel dans le raisonnement.

IV. L’interprétation de l’implication (C) par certains commentateurs médiévaux

33L’interprétation que j’ai proposée de l’implication (C) a été vue par certains commentateurs médiévaux. Je me suis aperçu de ce fait après avoir conçu l’interprétation en question et m’être persuadé qu’elle était la bonne. L’objet initial et principal du présent travail étant de comprendre le sens de l’implication (C) chez Aristote, non d’étudier sa fortune chez les commentateurs médiévaux, j’ai préféré exposer et argumenter l’interprétation en elle-même avant d’examiner comment elle se présente chez les médiévaux dont j’ai parlé. J’en viens maintenant à ce second objet. Mais cela nécessite au préalable de parler de deux interprétations de l’implication (C) qui eurent cours au Moyen Age, et qui sont dues à Averroès.

34Toutefois, ces interprétations d’Averroès étant assez délicates à exposer et à expliquer, et leur connaissance n’étant requise, du point de vue du présent article, que pour mettre dans leur perspective historique les textes des auteurs latins qui ont vu mon interprétation, il est conseillé au lecteur de faire une première lecture de la section iv, 2, de lire ensuite la section iv, 1, puis de relire la section iv, 2 dans la perspective de celle-ci.

IV.1. Les interprétations de l’implication (C) par Averroès

  • 19 Trifogli 2000, p. 102-111.

35Les deux interprétations ont été exposées et discutées par C. Trifogli19, et je vais suivre son exposé, car je n’ai rien à y redire quant à la présentation, quoique je ne sois pas nécessairement d’accord avec ses commentaires. La première, qu’elle qualifie de « métaphysique » (je vais revenir sur ce qualificatif), repose sur la distinction de deux types de puissance et sur leur association avec l’infini par division et l’infini par addition respectivement. Trifogli commence par citer un passage du commentaire 60 d’Averroès sur Phys. iii, dont je vais donner ma propre traduction du latin (le passage d’Aristote commenté est 206b6-27, la division du passage d’Averroès en deux parties est de Trifogli) :

  • 20 Dans le cas de l’augmentation, la croissance à l’infini entraînerait quelque chose d’impossible, à (...)
  • 21 « … si posuerimus quod magnitudo potest crescere in infinitum, tunc infinitum exibit in actum, et t (...)

(a) Si nous posons que la grandeur peut croître à l’infini, l’infini passera en acte, et alors “puissance” s’entendra au sens où nous l’entendons quand nous disons que telle chose est un homme en puissance. Mais quand nous posons que la diminution va à l’infini, rien d’impossible n’en résulte20. (b) La cause de cette différence est que la diminution consiste à aller vers le rien, ce dont la cause est la matière, tandis que l’addition consiste à aller vers l’être, ce dont la cause est la forme. Et l’infinitude est due à la matière comme la finitude est due à la forme21.

  • 22 Trifogli 2000, p. 103. La distinction des deux puissances est celle qui est introduite par Aristote (...)

36Voici l’explication de Trifogli : « Part (a) of this passage indicates the general strategy of Averroes’ explanation, which is to distinguish between two kinds of potency involved in the infinite by division and the infinite by addition. The point of the distinction is that only the first kind of potency is legitimate within Aristotle’s theory of the potential infinite, since it is never completely actualized. Instead, the potency of the potential infinite by addition in magnitude is analogous to a potency to a form, namely one that can be completely actualized. On the other hand, as Aristotle specifies in introducing the potential infinite in Physics iii, 6, this latter kind of potency is not appropriate to the infinite. In part (b), Averroes explains why the potency of infinite division differs so radically from that of the infinite addition. This is because – Averroes claims – the process of division is governed by matter, whereas the process of addition is governed by form »22.

37Trifogli expose ensuite comment Averroès explique à partir de là la différence entre l’infini par addition dans le cas des grandeurs et l’infini par addition dans le cas des nombres. Elle fait appel à un passage du commentaire 68, dont je donne d’abord ma traduction (le passage d’Aristote commenté est 207b1-15) :

  • 23 Par elle-même, l’expression « addition indéfinie des unités » pourrait laisser croire qu’Averroès, (...)
  • 24 « Quemadmodum enim causa in divisione mensurae in infinitum est materia, similiter est causa in add (...)

De même en effet que c’est la matière qui est cause dans la division indéfinie de la grandeur, de même elle est cause dans l’addition indéfinie des unités23. Et l’addition indéfinie du nombre est en puissance, non en ce sens qu’une addition indéfinie aboutisse à un passage en acte, de sorte qu’on obtiendrait un nombre infini en acte, mais en ce sens que l’addition ne cessera jamais24.

  • 25 Trifogli 2000, p. 103-104.

38Voici l’explication de Trifogli (qui fait immédiatement suite à son explication du passage du commentaire 60) : « Averroes extends this explanation to the case of the potential infinite by addition in numbers. On this point, he relies on Aristotle’s doctrine that the process of addition ad infinitum in number is granted by the process of division in magnitudes. It follows that also the potential infinite by addition in number is ultimately governed by matter and hence is a “legitimate” form of potential infinite »25.

39Comme je l’ai dit, Trifogli qualifie cette première explication de « métaphysique ». Il me semble qu’on peut la qualifier tout simplement de « physique », car elle ne met en jeu que des notions (celles de matière et de forme, et la distinction sur la puissance) qui appartiennent de plein droit à la physique aristotélicienne, même si certaines d’entre elles, ou des notions analogues, apparaissent aussi dans la Métaphysique – souvent d’ailleurs dans des passages où Aristote traite de la substance composée de matière et de forme, dont l’étude spéciale relève de la physique.

  • 26 … καὶ δυνάμει οὕτως ὡς ἡ ὕλη, κα οὐ καθʹ αὑτό, ὡς τὸ πεπερασμένον.

40J’ajouterai à la présentation de Trifogli que cette interprétation d’Averroès peut s’appuyer sur certains passages d’Aristote dans lesquels l’infini et le fini sont mis en rapport respectivement avec la matière et la forme. Il s’agit d’abord de 206b15, où Aristote dit que l’infini est en puissance « à la manière de la matière, et non en lui-même comme l’est le fini [quand il est en puissance] »26. Averroès explique ce passage ainsi :

  • 27 « … et esse eius, secundum quod est in potentia, est simile ad esse materiae, non simile formae. Es (...)

… son être, en tant qu’il est en puissance, est semblable à l’être de la matière, et non semblable à la forme. En effet, l’essence de la matière et de l’infini réside dans la puissance, tandis que la forme et la fin sont en acte. La finitude est donc semblable à la forme et l’infinitude à la matière, et c’est pourquoi [Aristote] expliquera plus loin que l’infinitude est dans une chose selon la matière et la finitude selon la forme27.

41Le passage auquel renvoie ici Averroès paraît être 207a22-25 :

  • 28 Διαιρετὸν δʹ ἐπί τε τὴν καθαίρεσιν κα ἀντεστραμμένην πρόσθεσιν.

L’infini est la matière de l’achèvement de la grandeur et il est un tout (ὅλον) en puissance, mais non en acte ; il est divisible, ce qui se traduit et par sa diminution, et par l’addition qui en est le renversement28 ; et il est un tout et quelque chose de fini, non par soi, mais par autre chose. Et il n’enveloppe pas, mais il est enveloppé, en tant qu’il est infini.

42Ici, la matière d’une substance apparaît comme étant quelque chose qui n’a pas de limite par soi-même, et qui de ce fait peut être dit « infini ». La substance, elle, a une limite déterminée, non du fait de sa matière, mais du fait d’autre chose, cet « autre chose » étant bien entendu la forme. La substance constitue ainsi un « tout » (ὅλον), et sa matière apparaît pour cette raison comme un tout en puissance, mais non en acte. Dans le tout en acte qu’est la substance, l’infinitude de la matière se révèle à travers la divisibilité de ce tout, qui se traduit par le double processus de diminution et d’addition que le Stagirite a décrit auparavant.

43Le dernier passage d’Aristote sur lequel peut s’appuyer l’interprétation d’Averroès est 207a33–b1, un passage où la correspondance en question est invoquée pour justifier la différence entre la division et l’addition :

  • 29 Κατὰ λόγον δὲ συμβαίνει καὶ τὸ κατὰ πρόσθεσιν μὲν μὴ εἶναι δοκεῖν ἄπειρον οὕτως ὥστε παντὸς ὑπερβάλ (...)

Il est conforme à la raison de croire aussi que selon l’addition il n’y ait pas d’infini au sens du dépassement de toute grandeur, et qu’il y en ait un du côté de la division ; en effet, l’infini est enveloppé à l’intérieur [d’une limite], comme la matière, et ce qui enveloppe, c’est la forme29.

44Aristote reprend visiblement ce qu’il a dit dans le passage précédemment cité, en disant expressément cette fois que « ce qui enveloppe, c’est la forme », et il en tire un argument – qu’il ne semble pas considérer comme démonstratif, mais plutôt comme un argument de vraisemblance – pour justifier qu’il y ait dépassement de toute grandeur en petitesse dans le cas de la division et qu’il n’y ait pas dépassement de toute grandeur dans le cas de l’addition. Le détail de l’argument n’est pas explicité (nous verrons tout à l’heure comment Averroès le reconstitue).

45On voit qu’Averroès pouvait trouver dans ces passages d’Aristote des éléments de son interprétation physique. On y trouve en effet le parallélisme entre l’infinitude et la matière d’une part, la finitude et la forme d’autre part. On y trouve plus précisément l’idée que c’est la matière qui confère aux choses la divisibilité indéfinie, tandis que la forme leur confère une limite dans le sens du plus grand. On y trouve enfin l’esquisse d’un raisonnement tendant à justifier à partir de là le fait que dans la division on peut dépasser en petitesse toute grandeur donnée, mais que l’analogue pour l’addition n’est pas possible.

46On n’y trouve cependant pas de justification, sur les mêmes bases, de l’implication (C). Dans son commentaire du dernier passage cité, Averroès affirme cette implication, et, en la couplant avec le fait que la finitude provient de la forme et l’infinitude de la matière, il prétend démontrer que la grandeur ne peut pas croître de manière à dépasser toute grandeur finie, pensant suivre ainsi au plus près le raisonnement d’Aristote. Voici comment il annonce ce raisonnement :

  • 30 « Et cum finitas acciderit rei ex forma, et infinitas ex materia, recte contingit quod magnitudo no (...)

Et puisque la finitude arrive à une chose du fait de la forme, et l’infinitude du fait de la matière, il est juste que la grandeur ne puisse pas dépasser toute mesure dans l’addition, car si cela était, alors il serait possible de trouver une <grandeur> infinie »30.

47Puis il le développe ainsi :

  • 31 « En effet, la matière n’a pas de forme » (εἶδος γὰρ οὐκ ἔχει ἡ ὕλη, 207a26).
  • 32 « Causa enim diminutionis est materia, quae est terminata, non terminans, et hoc intendebat cum dix (...)

La cause de la diminution est la matière, qui est délimitée, non délimitante ; et c’est ce qu’[Aristote] voulait dire quand il a dit « en effet, la matière, etc. »31, car la matière est délimitée par autre chose, et non délimitée en soi ; c’est pourquoi il n’est pas impossible que l’infinitude qui est en puissance provienne d’elle, mais [elle] ne [peut pas provenir] de la forme, qui est délimitante. En effet, s’il y avait, provenant d’elle, un infini [en puissance], alors il serait possible qu’il y ait un corps infini en acte, et il apparaît de façon générale que l’infini est contraire à ce qui est délimité32.

48On voit le rôle qu’Averroès fait jouer ici à l’implication (C) : elle entraîne que si la forme informait des corps arbitrairement grands, elle devrait informer aussi un corps infini en acte, ce qui est en contradiction avec le rôle de principe de limitation qui est le sien. L’implication (C) est tenue pour valide et utilisée, mais elle n’est pas établie.

49C’est en définitive dans le premier passage cité, celui du commentaire 60, qu’apparaissent et la raison pour laquelle Averroès tient l’implication (C) pour valide, et le sens en lequel il l’entend. L’idée centrale de son interprétation semble être contenue dans la phrase suivante :

La diminution consiste à aller vers le rien, ce dont la cause est la matière, tandis que l’addition consiste à aller vers l’être, ce dont la cause est la forme.

50Cette idée suffirait à expliquer ce que dit Aristote en 207a33–b1, à savoir qu’il est « conforme à la raison » de croire que dans l’addition il n’y a pas dépassement de toute grandeur, sans qu’on ait besoin pour cela d’invoquer l’implication (C). Car s’il est de l’essence de la forme de délimiter la matière qu’elle informe, un processus de croissance dépassant toute grandeur finie ne saurait aller vers l’actualisation d’aucune forme, et donc ne saurait se produire dans la nature. Mais Averroès voit les choses un peu différemment. Il se sert de l’idée qu’on vient de dire pour justifier l’assertion posée auparavant, que « si la grandeur peut croître à l’infini, l’infini passera en acte ». Pour lui, un processus qui par essence va « vers l’être », c’est-à-dire vers l’actualisation d’une forme, aboutit nécessairement à un achèvement ou, comme dit Trifogli, à une actualisation complète, et il y aboutirait même dans le cas, si ce cas était possible, où il dépasserait toute grandeur finie. De cette actualisation complète résulterait alors une grandeur infinie en acte. C’est ainsi qu’Averroès comprend l’implication (C).

  • 33 Trifogli 2000, p. 106. « More logical » parce que, comme on va le voir, Trifogli ne regarde pas cet (...)

51Dans le commentaire 69, Averroès introduit une deuxième explication, que Trifogli qualifie de « more logical »33. Là aussi, je commencerai par reprendre le passage d’Averroès qu’elle cite (le passage d’Aristote commenté est notre texte i, la division du passage d’Averroès est de Trifogli) :

  • 34 « Sed, cum aliquis consideraverit hoc, videbit quod additio in qua non cessat infinitum esse et non (...)

(1) Mais, si on considère ce problème, on verra (a) que l’addition dans laquelle le processus ne cesse de se poursuivre à l’infini, et dans laquelle il ne suit pas, si on la pose, qu’elle aboutisse à un passage [de l’infini] en acte – ce qui est impossible – est l’addition de n’importe quelle partie engendrée, [partie] dont la possibilité est autre que celle d’une autre partie, sans qu’elles soient toutes des parties d’une unique possibilité déterminée. Et il en est dans ce cas comme il en est pour le mouvement et pour le temps. (b) Mais quand il y a addition de n’importe quelle partie, dont la possibilité est partie d’une unique possibilité déterminée, [alors] de quelque manière que cette possibilité soit posée en puissance, il s’ensuit dans ce cas qu’elle est obtenue en acte. Sinon, on aurait une puissance qui serait en vain. (2) Et l’addition qui a lieu dans la grandeur déterminée est du genre de cette dernière addition, tandis que celle qui a lieu dans le nombre est du genre de la première. La cause de cette différence est que les puissances qui sont dans l’addition des parties quelconques d’une grandeur sont des parties d’une puissance unique, tandis qu’il n’en est pas ainsi dans le nombre, car, de même que la grandeur est une et continue et que le nombre ne l’est pas, de même il faut entendre qu’il en est dans ce passage34.

52Ce passage, que les médiévaux latins eux-mêmes trouvaient obscur, est expliqué comme suit par Trifogli. Elle commence par constater que la partie qu’elle a appelée (1) introduit la distinction de deux sortes d’addition, dont l’une conduit à un infini en acte, l’autre non, tandis que la partie qu’elle a appelée (2) fait l’application de cette distinction générale à l’addition des grandeurs et à celle des nombres. Elle caractérise les deux sortes d’addition ainsi :

(a) An addition in which the possibility of each added element (i.e., the possibility of adding a given element) is different from the possibility of any other element, and these many different possibilities are not parts of a single possibility.

  • 35 Trifogli 2000, p. 108.

(b) An addition in which the possibilities corresponding to different elements are numerically distinct, but there is also a single possibility of which these individual possibilities are parts35.

53Trifogli voit dans cette distinction le « côté logique » de l’explication d’Averroès. Elle en donne une analyse en termes de logique des propositions modales, qu’elle présente de manière formalisée. Comme je trouve que cette formalisation n’apporte rien, je ne l’y suivrai pas. Il me semble que la distinction introduite par Averroès se réduit à ceci : il y a deux sortes d’addition, l’une (a) dans laquelle la possibilité d’ajouter séparément des éléments ne s’accompagne pas de la possibilité d’ajouter les mêmes éléments tous à la fois, l’autre (b) dans laquelle elle s’accompagne de cette possibilité d’addition simultanée. Dans le premier cas, s’il est possible d’ajouter des éléments de telle sorte que le résultat de cette addition croisse de manière à dépasser toute grandeur, le résultat de l’addition simultanée des mêmes éléments sera infini en acte. Dans le premier cas il ne suit rien de tel, puisque les éléments considérés ne peuvent être ajoutés que séparément et non simultanément.

  • 36 Trifogli 2000 p. 109.

54Trifogli constate ensuite que, dans la deuxième partie, Averroès dit que l’addition des nombres est du type (a) et que celle des grandeurs est du type (b), et qu’il entreprend de le prouver. Dans cette preuve, selon elle, Averroès « abandons the logical approach to the problem of part (1) and appeals to non-logical and non strictly quantitative properties of magnitude and number »36.

  • 37 Trifogli 2000, p. 105. Les guillemets autour de « metaphysical » sont de Trifogli.
  • 38 À propos de l’assertion d’Averroès que l’addition de type (a) ne conduit pas à un infini en acte ma (...)
  • 39 Trifogli 2000, p. 110.

55Trifogli juge la première solution d’Averroès « inadéquate » précisément en raison de son caractère « métaphysique », car « it purports to solve in a “metaphysical” way a problem that belongs specifically to the logical and quantitative part of Aristotle’s theory of the infinite »37. Quant à la seconde explication, elle juge avec plus de faveur sa partie « logique »38, mais elle trouve « very weak » sa deuxième partie, « since it is based on a loose analogy between the logical properties of the modal determinations involved in the additions of type (a) and of type (b) and the“formal” properties of continuous and discrete quantities ». Et elle conclut : « Thus, even Averroes’ “logical” explanation of Aristotle’s argument is not very convincing »39. Les propriétés qu’elle appelle « formal » (les guillemets indiquant que le mot n’est pas pris en un sens technique, quoique en relation avec la notion aristotélicienne de forme) sont, pour la grandeur, la continuité et l’homogénéité, et, pour le nombre, la propriété négativement « formelle » d’être « a mere aggregate which lacks intrinsic unity ». Poussant sa critique de cette deuxième partie, elle écrit :

  • 40 Trifogli 2000, p. 110.

These different properties of continuous and discrete quantities seem to be transferred by Averroes to the possibilities involved in the processes of addition in these two kinds of quantities. The possibilities corresponding to the parts of magnitude to be added are as homogeneous as these parts are, and therefore can all be parts of a single possibility, in the same way in which these parts can form a single continuous magnitude. The possibilities corresponding to the unities added to a number are heterogeneous, and hence cannot be parts of a single possibility40.

56Je ne me propose pas d’élucider cette deuxième partie de la seconde interprétation d’Averroès, car cela sortirait de mon sujet, mais je dirai seulement ceci. Le qualificatif de « métaphysique » appliqué aux considérations introduites par le Commentateur dans cette partie n’est pas plus approprié, à mon avis, que dans le cas de sa première interprétation. Il s’agit encore une fois, du point de vue aristotélicien, de considérations pleinement physiques. De plus, disjoindre la première partie de la seconde, en la caractérisant comme purement logique, me semble quelque peu trompeur. Même s’il est vrai qu’elle est susceptible d’une analyse purement logique, la distinction introduite par Averroès dans cette partie n’a d’intérêt à ses yeux que par le contenu physique qu’elle est susceptible de recevoir, car il ne perd pas de vue que la problématique d’Aristote est physique. C’est à préciser ce contenu physique que s’applique la deuxième partie, et c’est là quelque chose d’essentiel à sa démarche, même si la manière dont il s’y prend peut nous paraître déconcertante et nous laisser une impression de malaise.

IV.2. L’interprétation de l’implication (C) par certains commentateurs latins

57Comme je l’ai déjà dit, je ne me propose pas ici de faire une étude exhaustive des interprétations de l’implication (C) par les latins. Mon but est seulement de relever chez certains d’entre eux l’interprétation que j’ai proposée, et de voir comment ils y parviennent et comment ils la mettent en œuvre. En particulier, je ne suis pas en mesure de déterminer à quelle époque elle apparaît pour la première fois. Je me bornerai à donner à ce sujet quelques indications.

  • 41 Trifogli 2000, p. 102. Trifogli parle ici de la solution d’Averroès (au singulier) parce qu’elle n’ (...)
  • 42 Pour la première, cf. Trifogli 2000, p. 104 ; pour la deuxième, cf. Trifogli 2000, p. 107.

58Pour le xiiie siècle, Trifogli donne un certain nombre d’informations. À propos des commentateurs anglais d’Oxford auxquels est consacré son livre, elle écrit : « … most of our commentators do not notice any problem at all in Aristotle’s argument, and […] they assume and use Aristotle’s inference from the potential infinite to the actual infinite in magnitudes. On the other hand, those commentators […] who deal explicitely with the problems arising from Aristotle’s argument simply repeat the solution proposed by Averroes »41. Parmi ceux de ces Oxoniens qui considèrent le problème, certains préfèrent la première solution d’Averroès, d’autres la deuxième42.

  • 43 Trifogli 2000, p. 107.
  • 44 Trifogli 2000, p. 105.

59Pour la deuxième moitié du xiiie siècle, Trifogli note que les auteurs de cette période font peu de cas de la deuxième explication d’Averroès : « This explanation […] was not highly regarded in the second half of the thirteenth century. For instance, it is quickly dismissed by Aquinas and not even mentioned by Giles of Rome »43. La première explication du Commentateur a un peu plus de succès auprès d’eux : « Some echo of it can be found, for instance, in Thomas Aquinas and Giles of Rome »44.

60En fait, Thomas d’Aquin, dans son commentaire sur la Physique, n’explique pas à proprement parler comment Aristote entend l’implication (C). Commentant notre texte ii, il soulève la question de savoir pourquoi il y a à cet égard, entre l’addition des grandeurs et celle des nombres, la différence dont on a parlé :

  • 45 « Quare autem si esset potentia ad infinitam additionem transcendentem omnem magnitudinem, sequatur (...)

Comment se fait-il que, s’il y avait une puissance à une addition indéfinie dépassant toute grandeur, il s’ensuivrait qu’il y aurait un corps infini en acte, mais que dans les nombres, une addition indéfinie dépassant tout nombre n’entraînerait pas qu’il y ait un nombre infini en acte ? C’est ce qu’on montrera plus bas45.

61L’explication annoncée est donnée en commentant le texte i :

  • 46 C’est-à-dire aux parties, qui sont « en puissance du nombre » en ce sens que par leur séparation du (...)
  • 47 « Patet etiam ex premissis ratio quare non oportet numerum tantum esse in actu, quantum est in pote (...)

De ce qui a été dit précédemment apparaît aussi la raison pour laquelle il n’est pas nécessaire que le nombre soit aussi grand en acte qu’il l’est en puissance, comme il est dit ici au sujet de la grandeur. C’est que l’addition de la grandeur est consécutive à la division du continu, par laquelle on va du tout à ce qui est en puissance du nombre46, de sorte qu’il n’est pas nécessaire d’arriver à un acte mettant un terme à la puissance. Mais l’addition de la grandeur conduit à un acte, comme il a été dit47.

62« Comme il a été dit » renvoie au point 2 de la même leçon, où Thomas, commentant 207a33–b1, invoque un parallélisme entre le tout et la forme d’une part, les parties et la matière d’autre part, pour expliquer la différence entre la division et l’addition des grandeurs :

  • 48 L’édition Léonine renvoie à ii, 3, 195a15-21.
  • 49 « Manifestum est autem ex hiis quae dicta sunt in secundo, quod totum habet rationem formae, partes (...)

Il est clair d’après ce qui a été dit dans le livre ii que le tout a la nature conceptuelle d’une forme, et les parties celle d’une matière48. Puis donc que dans les grandeurs on va, dans la division, du tout aux parties, il est raisonnable qu’on ne trouve là aucun terme qui ne soit dépassé par division indéfinie. Mais dans l’addition on va des parties au tout, qui a la nature conceptuelle d’une forme qui contient et délimite : de sorte qu’il est raisonnable qu’il y ait quelque quantité déterminée que l’addition indéfinie de dépasse pas49.

  • 50 Thomas ne renvoie expressément à Averroès que pour sa deuxième interprétation, qu’il mentionne briè (...)

63Thomas ne renvoie pas à Averroès pour ces explications. Il est néanmoins clair qu’elles sont dans l’esprit de la première interprétation que le Commentateur donne de l’implication (C), quoiqu’elles en diffèrent un peu dans le détail50.

  • 51 Egidii Romani commentaria in octo libros Physicorum Aristotelis, Venetiis 1502, Réimpr Minerva, Fra (...)
  • 52 « Numerum enim aliquem crescere realiter in infinitum dupliciter potest intelligi. Primo <modo>, qu (...)
  • 53 Ceci renvoie à 206b18-20.
  • 54 Realiter s’oppose à secundum imaginationem, qui apparaît un peu plus loin.
  • 55  « Sed augmentum magnitudinis in infinitum, si debeat excellere omnem magnitudinem datam, fieri non (...)

64Le cas de Gilles de Rome est beaucoup plus intéressant51. Commentant le texte ii, Gilles s’interroge sur le sens dans lequel l’implication (C) est vraie, et sur la raison de la différence entre l’addition des grandeurs et l’addition des nombres. Il donne deux interprétations de l’implication (C). La deuxième n’est autre que la première interprétation d’Averroès : c’est le passage cité par Trifogli dans sa note 52, p. 105, où il y a à mon avis plus qu’un « écho » de cette interprétation du Commentateur, quoique Gilles, pas plus que Thomas, ne le nomme. Mais cette interprétation n’est présentée que comme une « deuxième voie » (secunda via), et la première est exactement l’interprétation que j’ai proposée. Gilles l’expose avec une grande clarté. Il observe que dire qu’un nombre croît à l’infini peut s’entendre en deux sens. Premièrement, cela peut vouloir dire qu’il y a un nombre infini en acte dont on peut prendre continuellement des unités et les additionner à un autre nombre. Si c’est en ce sens qu’on entend qu’un nombre croît à l’infini, cela suppose que préexiste un nombre infini en acte. Deuxièmement, cela peut vouloir dire que la croissance indéfinie du nombre provient de la division d’un continu, et, ainsi entendue, elle n’entraîne pas l’existence d’un nombre infini en acte52. Gilles passe ensuite à la grandeur. L’augmentation de celle-ci, si elle doit dépasser toute grandeur donnée, ne peut pas provenir de la seule division d’un continu [sous-entendu : fini]. Car, comme il a été dit plus haut53, dans une telle addition on ne dépasse pas toute grandeur déterminée. La possibilité d’une addition réelle54 qui aille à l’infini au sens du dépassement de toute grandeur donnée présuppose donc l’existence d’une grandeur infinie dont on puisse prendre indéfiniment des parties, non seulement selon le même rapport, mais selon la même quantité [c’est-à-dire des parties toutes égales entre elles] pour les ajouter indéfiniment à une autre grandeur. Une croissance dépassant toute grandeur donnée n’est possible qu’en imagination. Si on veut qu’elle soit possible sensiblement et réellement, il faut présupposer l’existence d’une grandeur réelle et sensible infinie en acte, dont on puisse prendre indéfiniment des parties, comme il a été dit55.

  • 56 Curieusement, Trifogli, qui cite le passage dans lequel Gilles expose l’interprétation d’Averroès, (...)
  • 57 Op. cit., 69 ra-rb.

65On observera que pour Gilles de Rome, cette interprétation n’est pas exclusive de celle d’Averroès, puisqu’il donne l’une à la suite de l’autre en les considérant comme deux « voies » d’interprétation de l’implication (C)56. Et, quand il commente le texte i, il reprend (toujours sans le nommer) la première interprétation d’Averroès57.

  • 58 Ockham, Expositio in libros Physicorum Aristotelis (Richetr - Leibold 1985) ; Walter Burley, In Phy (...)

66D’autres commentateurs, postérieurs d’une cinquantaine d’années à Gilles de Rome, qui donnent l’interprétation que j’ai proposée, sont Guillaume d’Ockham et Walter Burley58. Leurs manières de la présenter sont très proches, malgré quelques différences, et cela suggère qu’ils ont puisé à la même source, qui ne peut être cependant Gilles de Rome. Alors que chez celui-ci, cette interprétation apparaît dans le commentaire du texte ii, chez les deux Anglais, elle apparaît dans celui du texte i. Tous deux commencent par distinguer deux sortes d’addition dans les grandeurs, l’une qui se fait par génération d’une nouvelle quantité, l’autre qui se fait par la seule division d’une grandeur préexistante. Ainsi Ockham :

  • 59 « Et ideo ad videndum intentionem Philosophi sciendum est quod augmentatio quantitatis potest intel (...)

Pour voir ce que veut dire le Philosophe, il faut savoir que l’augmentation d’une quantité peut être conçue comme se faisant de deux manières. Ou bien par génération d’une nouvelle quantité, comme s’il y avait ici de l’eau, et qu’ensuite une nouvelle eau fût engendrée et lui fût ajoutée, et que derechef fût engendrée une autre eau, et qu’elle fût ajoutée, et ainsi de suite perpétuellement. L’autre manière dont peut se faire l’augmentation est par la seule addition, sans nouvelle génération mais par la seule division, comme s’il y avait deux feux, un grand et un petit, que le grand fût divisé et qu’une partie fût ajoutée au petit, et derechef une autre, et ainsi de suite59.

  • 60 « Per generationem continuam nove magnitudinis, ut si imaginatur quod de novo aliqua generetur magn (...)
  • 61 « Additio unius preexistentis ad presentiale preexistens per divisionem partis ab una magnitudine, (...)

67À quoi Burley fait écho en termes un peu plus abstraits en distinguant une addition qui se fait « par génération continuelle d’une nouvelle grandeur, comme si on imagine qu’une grandeur de la quantité d’un pied soit nouvellement engendrée et ajoutée à toute la grandeur précédente, et cela continuellement »60, et une qui se fait par « addition d’une chose préexistante à une chose préexistante qui est là, par division d’une partie d’une grandeur, comme si A et B étaient deux grandeurs, que de A soit enlevée une quantité d’un pied et qu’elle soit ajoutée à B, puis que de A soit enlevée une autre quantité d’un pied et qu’elle soit ajoutée à B, et ainsi indéfiniment »61.

68Ockham et Burley disent tous deux que l’implication (C) ne vaut pas pour la première sorte d’addition, et que ce n’est pas de cette sorte d’addition qu’Aristote l’entend, mais de la deuxième. Ainsi Ockham :

  • 62 Au sens, bien sûr, du dépassement de toute grandeur finie, quoique la formulation d’Ockham soit ici (...)
  • 63 « De prima augmentatione non loquitur Philosophus et ideo de tali augmentatione non est consequenti (...)

Ce n’est pas de la première sorte d’augmentation que parle le Philosophe, et pour cette sorte d’augmentation il n’y a pas d’implication formelle « une grandeur peut devenir plus grande, et [encore] plus grande, et ainsi à l’infini62, donc elle peut devenir infinie en acte » […] mais il parle de l’augmentation entendue de la deuxième manière, celle qui se fait en ôtant une certaine quantité [de quelque chose] et en l’ajoutant à quelque chose d’autre63.

69Et Burley, après avoir exposé la première sorte d’addition :

  • 64 « Et sic intelligendo additionem fieri ad magnitudinem non est illa propositio vera “quantumcumque (...)

Si c’est ainsi que l’on entend l’addition à une grandeur, la proposition « aussi grande une grandeur est en puissance, aussi grande il est possible qu’elle soit en acte » est fausse […] et ce n’est pas en ce sens que le Philosophe et le Commentateur parlent ici d’addition. L’implication formulée par le Philosophe n’est pas valide, ainsi entendue, et ce n’est pas en l’entendant ainsi qu’il la pose64.

70En revanche, l’un et l’autre disent que l’implication vaut pour l’addition entendue au second sens, et ils expliquent très clairement comment. Ainsi Ockham, malgré un peu de flou mathématique :

  • 65 Entendez : plus grande qu’une certaine grandeur fixe autre qu’elles toutes.
  • 66 C’est ainsi qu’il faut entendre secundum se totum distinctum.
  • 67 « Et si esset talis additio magnitudinis in infinitum, necessario esset vel posset esse magnitudo i (...)

Et s’il y avait une telle addition de grandeur in infinitum, nécessairement il y aurait ou pourrait y avoir une grandeur infinie, car il suivrait nécessairement que dans ce dont devraient être enlevées toutes les choses à ajouter, il y aurait une infinité de choses dont chacune serait plus grande qu’une [même] autre65 et totalement disjointe66 de toutes les autres, et par conséquent il y aurait dans une même chose une infinité de parties de même quantité totalement disjointes67.

71Burley est encore plus clair :

  • 68 Il n’y a pas chez Burley l’ambiguïté que j’ai notée chez Ockham (cf n. 65), car Burley a pris l’exe (...)
  • 69 « Si talis additio in infinitum esset possibilis, necessario sequitur quod aliqua magnitudo esset a (...)

Si une telle addition in infinitum était possible68, il suivrait nécessairement qu’une certaine grandeur serait infinie en acte, car si on peut enlever de A une infinité de parties de même quantité et les ajouter à B, il s’ensuit nécessairement que A est infini, parce que dans aucune chose finie il n’y a une infinité de parties de même quantité dont chacune est totalement hors de l’autre69.

72Il faut ajouter qu’Ockham et Burley trouvent dans cette interprétation de l’implication (C) le sens de la deuxième interprétation d’Averroès, qu’ils identifient avec elle (ce que ne faisait pas Gilles de Rome, qui ne parlait pas du tout de la deuxième interprétation du Commentateur). Ainsi Ockham, à la suite du dernier passage que j’ai cité de lui, poursuit :

  • 70 In actu porte sur addi qui le précède, comme le montre l’expression addi in actu qui vient peu aprè (...)
  • 71 « Et ideo cum quaelibet magnitudo una potest intelligi addi unica additione alteri […] in actu, opo (...)

Et ainsi, puisqu’on peut concevoir de n’importe quelle grandeur une qu’elle s’ajoute en acte70 à une autre [grandeur] par une unique addition, il faut que toutes les possibilités en vertu desquelles sont ajoutées les différentes parties soient les parties d’un unique « être ajouté en acte » possible, et par conséquent, nécessairement, ce qui serait composé en acte à partir de toutes ces additions serait infini71.

73Et après avoir exposé qu’il n’en est pas de même pour l’addition des nombres, Ockham conclut : « Et cette explication est celle du Commentateur, comme il apparaît clairement (Et ista est expositio Commentatoris, ut patet) ». Burley, ici aussi, est plus clair et aide à comprendre ce qu’Ockham veut dire, quoiqu’il montre un peu plus de circonspection à affirmer que c’est bien là l’interprétation d’Averroès. Il commence par observer que dans l’hypothèse où une grandeur B serait infinie en puissance au sens considéré ici, c’est-à-dire pourrait dépasser toute grandeur finie par addition de parties prises dans une grandeur A infinie en acte, B pourrait elle-même devenir infinie en acte. Il suffirait pour cela qu’au lieu de lui être ajoutée partie après partie, A lui soit ajouté d’un seul coup :

  • 72 « Sequitur etiam quod ipsum B possit esse actu infinitum, quia sicut A potest dividi et successive (...)

Il suit que B lui-même pourrait être infini en acte, car, de même que A peut être divisé et ajouté successivement à B, de même A tout entier pourrait être ajouté d’un seul coup à B, et une fois cette addition faite, B serait infini en acte72.

74Puis il dit un peu plus loin, non sans une certaine lourdeur d’expression qui, cependant, ne gêne pas la compréhension du passage :

  • 73 « Haec etiam videtur <esse> intentio Commentatoris hic, d[icentis] quod in additione magnitudinis o (...)

Cela semble être ce que veut dire ici le Commentateur, quand il dit que dans l’addition de la grandeur toutes les possibilités qui interviennent dans l’addition sont les parties d’une unique possibilité, car de même qu’il y a des possibilités partielles qui interviennent dans l’addition des parties, il y a une possibilité unique, qui réside dans le tout, que le tout soit ajouté d’un seul coup, et les possibilités d’addition des parties sont les parties d’une même possibilité totale, qui est celle que le tout soit ajouté d’un seul coup73

75Nous avons vu que la possibilité d’ajouter d’un seul coup toutes les grandeurs qui peuvent être ajoutées séparément était au cœur de la deuxième interprétation d’Averroès, quoi que vaille la justification physique qu’il prétend en donner. Ici, nous voyons Burley préciser dans quelles conditions l’intégration, invoquée par le Commentateur, des possibilités partielles en une possibilité unique est justifiée : c’est pour la deuxième sorte d’addition, et cela ne vaut pas pour la première.

76Ockham et Burley expliquent aussi pourquoi l’addition des nombres ne se comporte pas comme celle des grandeurs du point de vue de la croissance indéfinie, mais là-dessus ils sont moins clairs que Gilles de Rome. Ils disent bien que cela est dû au fait que la croissance du nombre suit la division du continu, mais ils ne paraissent pas avoir vu – en tout cas ils ne disent pas – que, si la croissance du nombre se faisait par addition directe d’unités, l’implication (C) vaudrait pour les nombres comme pour les grandeurs, et dans le même sens, ce que Gilles avait vu très clairement.

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Bibliographie

Carteron, H. 1926-1931 : Aristote. Physique. Texte établi et traduit par Carteron, H.. 2 vol. , Paris, 1926-1931 (CUF).

Diels, H. 1882 : Simplicii in Aristotelis Physicorum libros quatuor priores commentaria, ed. Diels, H., Berlin, 1882 (CAG, ix).

Hussey, E. 1983 : Aristotle’s Physics. Books iii and iv. Translated with introduction and notes by Hussey, E., Oxford-New York, 1983 (Clarendon Aristotle series).

Pellegrin, P. 2000 : Aristote. Physique. Traduction, présentation, notes, bibliographie et index par Pellegrin, P., Paris, 2000.

RichTer, V. - Leibold, G. 1985 : Guillelmi de Ockham Expositio in libros physicorum Aristotelis. Opera philosophica, vol. 4-5, ST Bonaventure University (N.Y.), 1985.

Stevens, A. 1999 : Aristote. La Physique. Introduction de L. Couloubaritsis. Traduction de Stevens, A., Paris, 1999.

Trifogli, C. 2000 : Oxford Physics in the Thirteenth Century (ca 1250-1270), Leiden-Boston-Köln, 2000.

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Notes

1  Δυνάμει μέν ἐστιν [ἄπειρος ὁ ἀριθμός], ἐνεργείᾳ δʹ οὐ, ἀλλʹ ἀεὶ ὑπερβάλλει τὸ λαμβανόμενον παντὸς ὁρισμένου πλήθους.

2 Phys. iii, 7, 207b15-21.

3  Ὅσον γὰρ ἐνδέχεται δυνάμει εἶναι [τὸ συνεχές], καὶ ἐνεργείᾳ ἐνδέχεται τοσοῦτον εἶναι.

4  Ὥστε ἐπεὶ ἄπειρον οὐδὲν ἔστι μέγεθος αἰσθητόν, ὀυκ ἐνδέχεται παντὸς ὑπερβολὴν εἶναι ὡρισμένου μεγέθους..

5  Au sens le plus général de l’expression, une grandeur infinie en puissance est simplement une grandeur susceptible de croître indéfiniment, que ce soit en dépassant toute grandeur finie donnée ou non. Mais ici, il faut l’entendre au sens spécial que je viens de dire, ainsi qu’il va apparaître immédiatement. Il sera cependant parfois utile d’avoir à l’esprit la distinction des deux sens de l’expression.

6  En fait, on peut encore distinguer deux interprétations possibles de (C). D’une part on peut considérer qu’on parle de la même grandeur en nombre, quoique variable en taille, grandeur dont on dit que si elle peut être infinie en puissance, elle peut aussi être infinie en acte. Dans cette interprétation, l’assertion (C) pourrait être formulée ainsi : « Si une grandeur peut être infinie en puissance, cette grandeur peut aussi être infinie en acte ». Ce qui veut dire, d’après ce qui précède, que si une grandeur une en nombre, mais variable en taille, peut croître de manière à dépasser toute grandeur finie donnée, cette même grandeur peut être infinie en acte. On peut considérer d’autre part que l’assertion (C) est générique, et veut dire que s’il peut exister une grandeur infinie en puissance, au même sens que précédemment, il peut exister aussi une grandeur (sous-entendu : de même genre) infinie en acte. Il est clair que si (C) est valide au premier sens, elle l’est aussi au second, l’inverse n’étant pas vrai. L’assertion (B) est proprement la contraposée de (C) prise au sens générique, toutefois elle suit de (C) dans les deux interprétations. J’ai adopté la formulation ci-dessus (en disant « une telle grandeur ») pour essayer de conserver l’ambiguïté. Les commentateurs n’ont pas prêté beaucoup d’attention à celle-ci ; je veux dire qu’ils n’ont pas explicitement distingué les deux interprétations. Je n’y ferai moi-même pas appel, je signale seulement l’ambiguïté parce que, lorsque j’exposerai l’interprétation que je propose, on pourra observer qu’elle suppose que l’implication (C) est entendue au sens générique. C’est d’ailleurs ainsi que l’ont implicitement entendue les traducteurs récents (Hussey 1983, Pellegrin 2000, Stevens 1999). En revanche, à propos de la première interprétation d’Averroès, que j’exposerai dans la section iv.1, on pourra observer que dans cette interprétation l’implication (C) est entendue au premier des deux sens que je viens de distinguer.

7  C’est ainsi que j’interprète κα ἔσται ἔλαττον, en accord avec Carteron, Pellegrin et Stevens. Hussey semble comprendre autrement (à en juger par sa ponctuation) : καὶ ἔσται ἔλαττον expliquerait en quel sens, dans la division, on dépasse toute grandeur déterminée, en précisant que c’est en petitesse. Mais le futur ἔσται ne semble pouvoir répondre qu’au futur ὑπερβαλεῖ, qui se rapporte au cas de l’infini par addition.

8  Ὥστε δὲ παντὸς ὑπερβάλλειν κατὰ τὴν πρόσθεσιν, οὐδὲ δυνάμει οἷόν τε εἶναι, εἴπερ μὴ ἔστι κατὰ συμβεβηκὸς ἐντελεχείᾳ ἄπειρον.

9 Πῶς λέγεῖ διὰ τοῦτο μὴ εἶναι ὑπερβολὴν παντὸς ὡρισμένου μεγέθους, ὅτι μὴ ἔστιν ἐνεργείᾳ μέγεθος αἰσθητὸν ἄπειρον... (508, 38–509, 1 Diels). La formulation de Simplicius est quelque peu différente de celle d’Aristote telle quelle nous a été transmise par les manuscrits (cf. supra n. 4).

10 L’ensemble du passage de Simplicius est p. 508-509 Diels.

11 Hussey 1983, p. 85.

12 Pellegrin 2000. Dans l’ancienne traduction de Carteron 1926-1931 et dans la traduction récente de Stevens 1999, l’implication (C) n’est pas commentée.

13 Trifogli 2000, p. 110. Dans ce que Trifogli appelle l’inférence (PA) on reconnaît une forme de ce que j’ai appelé l’implication (C), dans laquelle la définition d’une grandeur infinie en puissance est explicitée.

14 Cela est marqué par l’adjectif αἰσθητὸν qui qualifie, dans les deux passages, la grandeur infinie en acte (σῶμα αἰσθητὸν dans le texte ii), ainsi que par la référence aux physiologues.

15 Cf supra n. 5.

16 Pourtant, Simplicius, bien qu’il n’ait pas vu clairement cette interprétation, a formulé l’implication (C) d’une manière qui indiquait à son insu dans quel sens il faut la lire : « La raison pour laquelle il n’y a pas de dépassement de toute grandeur limitée, c’est qu’il n’y a pas de grandeur sensible infinie en acte » (cf. supra n. 8).

17 Cf infra section iv.2.

18  Je comprends mal l’insistance de Hussey (ici et ailleurs, par exemple dans son commentaire sur le texte ii) sur la nécessité de distinguer entre la simple finitude du monde et la finitude accompagnée de fixité de la taille, car je ne vois pas qu’Aristote ait jamais envisagé que le monde puisse être de taille variable dans le temps.

19 Trifogli 2000, p. 102-111.

20 Dans le cas de l’augmentation, la croissance à l’infini entraînerait quelque chose d’impossible, à savoir le passage en acte de l’infini, c’est-à-dire qu’on arriverait à une grandeur infiniment grande en acte. Dans le cas de la diminution, la décroissance à l’infini n’entraîne aucun passage en acte de l’infini, à savoir n’entraîne pas qu’on arrive à une grandeur infiniment petite en acte.

21 « … si posuerimus quod magnitudo potest crescere in infinitum, tunc infinitum exibit in actum, et tunc potentia intelligitur sicut intelligitur cum dicimus quod hoc est homo in potentia. Et cum posuerimus quod diminutio est in infinitum, non accidit impossibile. Et causa in hoc est quoniam diminutio est ire ad nihil, cuius causa est materia, et additio est ire ad esse, cuius causa est forma. Et infinitas invenitur per materiam sicut finitas per formam » (Averroes Cordubensis, Aristotelis de Physico Auditu (Aristotelis opera cum Averrois Commentariis, iv), Venetiis apud Iunctas, 1562 (réimpr. Minerva, Frankfurt, 1962). Le passage cité ici est colonne 114 ra A-B, cité par Trifogli 2000, p. 103 n. 46).

22 Trifogli 2000, p. 103. La distinction des deux puissances est celle qui est introduite par Aristote en 206a18-23, quand il dit : « Mais il ne faut pas entendre par “être en puissance” qu’il y ait quelque chose d’infini qui devrait un jour être en acte, comme on dit que telle chose est en puissance une statue, pour dire que ce sera une statue. Puisque “être” s’entend en plusieurs sens, l’être de l’infini consiste, comme celui de la journée et de la lutte, à devenir continuellement autre ».

23 Par elle-même, l’expression « addition indéfinie des unités » pourrait laisser croire qu’Averroès, contrairement à Aristote, admet une augmentation du nombre par addition directe d’unités, mais il n’en est rien : l’addition d’unités dont il parle se fait indirectement, comme chez Aristote, par la division en deux de la dernière partie obtenue. C’est précisément ce qui lui permet de dire que dans cette addition indéfinie, la cause est la même que dans la division indéfinie de la grandeur, à savoir la matière.

24 « Quemadmodum enim causa in divisione mensurae in infinitum est materia, similiter est causa in additione unitatum in infinitum. Et additio numeri in infinitum est in potentia, non quod additio infinita exeat in actum, ita quod inveniatur numerus in actu infinitus, sed quod additio nunquam cesset » (117 vb M, cité par Trifogli 2000, p. 104 n. 49). Le texte latin d’Averroès emploie parfois mensura pour magnitudo.

25 Trifogli 2000, p. 103-104.

26 … καὶ δυνάμει οὕτως ὡς ἡ ὕλη, κα οὐ καθʹ αὑτό, ὡς τὸ πεπερασμένον.

27 « … et esse eius, secundum quod est in potentia, est simile ad esse materiae, non simile formae. Essentia enim materiae et infiniti est in potentia, forma autem et finis sunt in actu. Finitas igitur est similis formae et infinitas materiae, unde post declarabit quod infinitas est in re secundum materiam, et finitas secundum formam » (comm. 59, 113 rb D).

28 Διαιρετὸν δʹ ἐπί τε τὴν καθαίρεσιν κα ἀντεστραμμένην πρόσθεσιν.

29 Κατὰ λόγον δὲ συμβαίνει καὶ τὸ κατὰ πρόσθεσιν μὲν μὴ εἶναι δοκεῖν ἄπειρον οὕτως ὥστε παντὸς ὑπερβάλλειν μεγέθους, ἐπὶ τὴν διαίρεσιν δὲ εἶναι · περιέχεται γὰρ ὡς ἡ ὕλη ἐντὸς καὶ τὸ ἄπειρον, περιέχει δὲ τὸ εἶδος.

30 « Et cum finitas acciderit rei ex forma, et infinitas ex materia, recte contingit quod magnitudo non possit pertransire omnem mensuram in additione, quoniam, si hoc esset, tunc esset possibile <magnitudinem> [Iunctas : formam] invenire infinitam » (comm. 67, 117 ra B).

31 « En effet, la matière n’a pas de forme » (εἶδος γὰρ οὐκ ἔχει ἡ ὕλη, 207a26).

32 « Causa enim diminutionis est materia, quae est terminata, non terminans, et hoc intendebat cum dixit “materia enim etc”, quia materia est terminata ab alio, non terminata in se, ideo non est impossibile ut infinitas quae est in potentia accidat ex illa, non ex forma, qui [sic] est terminans. Ex illa enim si esset infinitum, tunc possibile esset cerpus in actu esse infinitum, et universaliter apparet quod infinitum est contrarium terminato » (comm. 67, 117 ra B-C).

33 Trifogli 2000, p. 106. « More logical » parce que, comme on va le voir, Trifogli ne regarde pas cette explication comme purement logique.

34 « Sed, cum aliquis consideraverit hoc, videbit quod additio in qua non cessat infinitum esse et non sequitur, si ponatur, ipsam exire in actum, quod est impossibile, est additio cuiuslibet partis generatae cuius possibilitas est alia a possibilitate alterius partis et non sunt omnes partes unius possibilitatis demonstratae. Et hoc est sicut est dispositio in motu et tempore. In additione autem cuiuslibet partis cuius possibilitas est pars unius possibilitatis demonstratae, ista possibilitas, quomodocumque ponatur in potentia, sequitur ex ea quod ut inveniatur in actu in illa dispositione, et, si non, contingeret ut potentia esset frustra. Et additio quae est in magnitudine demonstrata est de genere istius additionis et additio quae est in numero est de genere primae additionis. Et causa in hoc quod potentiae quae sunt in additione uniuscuiusque partis partium mensurae omnes sunt partes unius potentiae et non est ita in numero, quoniam, sicut mensura est una et continua et numerus non, secundum hoc igitur intelligendus est iste locus » (118 rb F – va H, cité par Trifogli 2000, p. 107 n. 55).

35 Trifogli 2000, p. 108.

36 Trifogli 2000 p. 109.

37 Trifogli 2000, p. 105. Les guillemets autour de « metaphysical » sont de Trifogli.

38 À propos de l’assertion d’Averroès que l’addition de type (a) ne conduit pas à un infini en acte mais que l’addition de type (b) y conduit, elle écrit : « On this point, Averroes seems to be definitely right » (Trifogli 2000, p. 108), ce qu’elle entreprend de justifier par l’analyse propositionnelle dont j’ai parlé.

39 Trifogli 2000, p. 110.

40 Trifogli 2000, p. 110.

41 Trifogli 2000, p. 102. Trifogli parle ici de la solution d’Averroès (au singulier) parce qu’elle n’a pas encore introduit les deux solutions spécifiques élaborées par le Commentateur.

42 Pour la première, cf. Trifogli 2000, p. 104 ; pour la deuxième, cf. Trifogli 2000, p. 107.

43 Trifogli 2000, p. 107.

44 Trifogli 2000, p. 105.

45 « Quare autem si esset potentia ad infinitam additionem transcendentem omnem magnitudinem, sequatur esse corpus infinitum in actu, non autem ad additionem infinitam in numeris, transcendentem omnem numerum, sequatur esse numerum infinitum in actu, infra ostendetur » (édition Léonine, livre iii, lectio xi, 6).

46 C’est-à-dire aux parties, qui sont « en puissance du nombre » en ce sens que par leur séparation du tout et entre elles, elles produisent un nombre.

47 « Patet etiam ex premissis ratio quare non oportet numerum tantum esse in actu, quantum est in potentia, sicuti hic dicitur de magnitudine ; quia additio numeri sequitur divisionem continui, per quam a toto itur ad id quod est in potentia ad numerum. Unde non oportet devenire ad aliquem actum finientem potentiam. Sed additio magnitudinis ducit in actum, ut ditum est » (Ibid., lectio xii, 6).

48 L’édition Léonine renvoie à ii, 3, 195a15-21.

49 « Manifestum est autem ex hiis quae dicta sunt in secundo, quod totum habet rationem formae, partes autem rationem materiae. Cum ergo in magnitudinibus a toto itur ad partes per divisionem, rationabile est quod ibi nullus terminus inveniatur, qui non transcendatur per infinitam divisionem. Sed in additione itur a partibus ad totum, quod habet rationem formae continentis et terminantis : unde rationabile est quod sit aliqua determinata quantitas, quam infinita appositio non transcendat » (Ibid., lectio xii, 2).

50 Thomas ne renvoie expressément à Averroès que pour sa deuxième interprétation, qu’il mentionne brièvement pour dire qu’elle « ne vaut pas grand chose (parum valet) ».

51 Egidii Romani commentaria in octo libros Physicorum Aristotelis, Venetiis 1502, Réimpr Minerva, Frankfurt, 1968, 66 vb – 67 ra.

52 « Numerum enim aliquem crescere realiter in infinitum dupliciter potest intelligi. Primo <modo>, quod sit aliquis numerus actu infinitus a quo semper possent accipi alique unitates et addi alteri numero. Et sic ponendo numerum crescere in infinitum, presupponitur numerus aliquis infinitus […]. Secundo modo potest intelligi numerum crescere in infinitum etiam realiter ex sola divisione continui finiti. Nam quia quodlibet continuum quantumcumque finitum est in infinitum divisibile, quia semper ex divisione continui fiunt plures partes et augmentatur numerus, si possibile est continuum dividi in infinitum possibile est numerum in infinitum augeri. Non ergo oportet, si numerus crescit in infinitum, quod sit dare numerum actu infinitum » (op. cit., 66 vb).

53 Ceci renvoie à 206b18-20.

54 Realiter s’oppose à secundum imaginationem, qui apparaît un peu plus loin.

55  « Sed augmentum magnitudinis in infinitum, si debeat excellere omnem magnitudinem datam, fieri non poterit ex sola divisione continui. Nam, ut supra dicebatur, ex tali additione non excederetur omnis determinata magnitudo […]. Oportet igitur, si potest alicui magnitudini realiter fieri additio in infinitum, quod aliqua magnitudo infinita presupponatur, a qua non solum secundum eandem proportionem, sed etiam secundum eandem quantitatem in infinitum possit fieri acceptio infinita ut alii magnitudini fiat additio infinita. Potest ergo magnitudo crescere in infinitum ut excellat omnem magnitudinem datam secundum imaginationem solum. […] Sed si tale augmentum fieri debeat sensibiliter et realiter, cum ad hoc non sufficiat divisio continui si sit finitum, oportet, ut dicebatur, presupponere magnitudinem realem et sensibilem actu infinitam a qua possit fieri infinita acceptio ut magnitudo alia realiter crescere possit in infinitum » (ibid.).

56 Curieusement, Trifogli, qui cite le passage dans lequel Gilles expose l’interprétation d’Averroès, ne paraît pas avoir prêté attention à l’autre interprétation, qu’il expose juste avant.

57 Op. cit., 69 ra-rb.

58 Ockham, Expositio in libros Physicorum Aristotelis (Richetr - Leibold 1985) ; Walter Burley, In Physicam Aristotelis Expositio et Quaestiones, Venise, 1501 (réimpr. Georg Olms Verlag, Hildesheim-New-York, 1972). Ces commentaires sont des années 1320, tandis que celui de Gilles de Rome est des années 1270.

59 « Et ideo ad videndum intentionem Philosophi sciendum est quod augmentatio quantitatis potest intelligi dupliciter fieri. Vel per generationem novae quantitatis, sicut si sit aqua hic et postea generaretur nova aqua et adderetur sibi et iterum generaretur alia aqua et adderetur et sic semper procedendo. Aliter potest fieri augmentatio per solam additionem sine nova generatione sed per divisionem solam, sicut si sint duo ignes, parvus et magnus, et maior dividatur et una pars addatur minori et iterum alia et sic procedendo » (Ockham, op. cit., p. 581).

60 « Per generationem continuam nove magnitudinis, ut si imaginatur quod de novo aliqua generetur magnitudo pedalis quantitatis et addatur toti magnitudini precedenti, et hoc continue » (Burley, op. cit., 85 rb).

61 « Additio unius preexistentis ad presentiale preexistens per divisionem partis ab una magnitudine, ut si A et B sint due magnitudines et ab A auferatur quantitas pedalis et addatur ipsi B, et postea auferatur alia quantitas pedalis ab A et addatur ipsi B et sic in infinitum » (ibid.).

62 Au sens, bien sûr, du dépassement de toute grandeur finie, quoique la formulation d’Ockham soit ici ambiguë.

63 « De prima augmentatione non loquitur Philosophus et ideo de tali augmentatione non est consequentia formalis “potest fieri maior magnitudo et maior et sic in infinitum, ergo ergo potest fieri in actu infinité” […] sed loquitur de augmentatione secundo modo dicta quae est per ablationem alicuius quantitatis et additionem ad aliud » (Ockham, op. cit., p. 581).

64 « Et sic intelligendo additionem fieri ad magnitudinem non est illa propositio vera “quantumcumque est magnitudo in potentia, tantam contingit eam esse in actu” […] nec sic loquuntur Philosophus et Commentator hic de additione. Nec valet consequentia Philosophi hic sub hoc intellectu, immo sub hoc intellectu Philosophus non facit consequentiam predictam » (Burley, op. cit., 85 rb).

65 Entendez : plus grande qu’une certaine grandeur fixe autre qu’elles toutes.

66 C’est ainsi qu’il faut entendre secundum se totum distinctum.

67 « Et si esset talis additio magnitudinis in infinitum, necessario esset vel posset esse magnitudo infinita, quia sequeretur quod in illo a quo deberent auferri omnia illa addenda, essent infinita, quorum quodlibet esset maius alio et secundum se totum distinctum ab omnibus aliis, et per consequens essent in uno infinitae partes eiusdem quantitatis secundum se totas distinctae » (Ockham, op. cit., p. 581-582).

68 Il n’y a pas chez Burley l’ambiguïté que j’ai notée chez Ockham (cf n. 65), car Burley a pris l’exemple d’une addition de grandeurs toutes égales à un pied.

69 « Si talis additio in infinitum esset possibilis, necessario sequitur quod aliqua magnitudo esset actu infinita, quia si ab A possunt auferri infinite partes eiusdem quantitatis et addi ipsi B, tunc sequitur necessario quod A esset infinitum, quia in nullo finito sunt infinite partes eiusdem quantitatis quarum quelibet sit totaliter extra aliam » (Burley, op. cit., 85 rb).

70 In actu porte sur addi qui le précède, comme le montre l’expression addi in actu qui vient peu après.

71 « Et ideo cum quaelibet magnitudo una potest intelligi addi unica additione alteri […] in actu, oportet quod omnes istae possibilitates quibus adduntur diversae partes, sint partes unius possibilis addi in actu, et per consequens necessario esset infinitum illud compositum actu ex omnibus illis » (Ockham, op. cit., p. 582).

72 « Sequitur etiam quod ipsum B possit esse actu infinitum, quia sicut A potest dividi et successive addi ipsi B, ita totum A posset simul addi ipsi B, qua additione facta B esset actu infinitum … » (Burley, op. cit., 85 rb ; ce passage suit immédiatement celui qui est cité n. 69).

73 « Haec etiam videtur <esse> intentio Commentatoris hic, d[icentis] quod in additione magnitudinis omnes possibilitates in additione sunt partes unius possibilitatis, quia sicut sunt partiales possibilitates in additione partium, ita una possibilitas in illo toto ut simul addatur totum, et possibilitates ad additionem partium sunt partes totius possibilitatis quae est ut totum simul additur » (Burley, op. cit., 85 va).

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Pour citer cet article

Référence papier

Edmond Mazet, « Grandeur infinie en puissance et grandeur infinie en acte »Philosophie antique, 2 | 2002, 63-87.

Référence électronique

Edmond Mazet, « Grandeur infinie en puissance et grandeur infinie en acte »Philosophie antique [En ligne], 2 | 2002, mis en ligne le 07 juillet 2023, consulté le 20 juin 2024. URL : http://0-journals-openedition-org.catalogue.libraries.london.ac.uk/philosant/6655 ; DOI : https://0-doi-org.catalogue.libraries.london.ac.uk/10.4000/philosant.6655

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Auteur

Edmond Mazet

Université Charles-de-Gaulle Lille iii

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Droits d’auteur

CC-BY-NC-SA-4.0

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