Navigazione – Mappa del sito

HomeNumeri42esperimenti mentaliSperimentare con i triangoli

esperimenti mentali

Sperimentare con i triangoli

Valeria Giardino
p. 39-54

Abstract

It is possible to argue that the only ‘genuine’ experiments in mathematics are in fact thought experiments. Nevertheless, one preliminary question is to ask what genuine mathematica experiments are, and whether the activity of experimentation is a proper mathematical activity. In this article, I will consider which kind of conception of mathematics allows for the existence of experiments in mathematics and I will present the constraints these experiments are subject to. Then, I will discuss three examples to arrive at a general conclusion: experimentation is indeed a genuine mathematical activity, but its mechanisms are particular with respect to experimentation in the natural sciences.

Torna su

Testo integrale

1. Introduzione: matematica ed esperimenti (mentali)

1Si può rispondere in diversi modi alle domande riguardanti l’esistenza degli esperimenti mentali in matematica e il loro ruolo. La prima risposta possibile è forse la più immediata e intuitiva sebbene, come suggerito in Anapolitanos (1991), rischi di apparire per certi aspetti troppo dogmatica: in una disciplina come la matematica, sono proprio gli esperimenti mentali a essere riconosciuti come gli esperimenti più ‘autenticamente’ matematici. È nel paragonare matematica e scienze naturali che vediamo le ragioni di questa risposta. Se infatti nelle scienze naturali un esperimento mentale è un esperimento che si basa su un’idealizzazione, nella maggior parte dei casi non realizzabile, delle condizioni attuali sotto le quali un certo fenomeno si presenta, in matematica non sembra esserci nulla che possa servire da controparte, e della quale si possa donare un’idealizzazione. Se si ammette l’esistenza di esperimenti mentali in matematica e oltretutto li si riconosce come centrali per lo sviluppo di questa disciplina, è poi possibile procedere ulteriormente e guardare al ruolo che essi di volta in volta si trovano a ricoprire. La proposta di Anapolitanos, per esempio, è di suddividere gli esperimenti mentali in matematica in sei gruppi differenti.

2Il primo gruppo raccoglie gli esperimenti mentali che hanno luogo in una fase dello sviluppo di una teoria in cui la sua struttura concettuale non è stata ancora completamente definita. In questo caso, gli esperimenti mentali possono essere utilizzati per valutare la verità o la falsità di una determinata ipotesi o congettura. Nel seguito dell’articolo, vedremo alcuni esempi di questi esperimenti. Il secondo gruppo di esperimenti mentali è costituito dagli esperimenti compiuti all’interno di una teoria le cui conseguenze sono state già elaborate in maniera soddisfacente, e comportano dunque un minimo di alterazione concettuale. Esperimenti di questo genere sono all’ordine del giorno nell’attività del matematico. Il terzo gruppo è quello degli esperimenti che si potrebbero definire, seguendo Kuhn (1968),‘cruciali’, poiché vengono elaborati durante un periodo di crisi della disciplina, e rappresentano dei controesempi patologici generati dalla stessa teoria che fino a quel momento è stata accettata dalla comunità dei matematici. I paradossi insiemistici dell’inizio del ventesimo secolo, per esempio, hanno condotto a una revisione della teoria degli insiemi cantoriana. Il quarto gruppo raccoglie gli esperimenti che vengono generati successivamente al riconoscimento dell’impossibilità di dimostrare un postulato o una proposizione di una teoria. Esempio principe il coraggioso esperimento mentale che, negando il postulato delle parallele della geometria di Euclide, ha portato alla nascita e allo sviluppo delle geometrie non euclidee. Il quinto gruppo è quello degli esperimenti mentali dovuti a considerazioni maggiormente filosofiche, come per esempio il tentativo – riuscito – di Robinson (1996) di re-introdurre gli infinitesimali lebniziani creando in questo modo l’analisi non-standard. Il sesto gruppo, infine, è costituito dagli esperimenti mentali che hanno come obiettivo la creazione di un apparato concettuale più semplice e più compatto rispetto alla struttura disponibile, che renda la teoria in questione maggiormente utilizzabile e generalizzabile: un esempio è l’introduzione di nuovi assiomi come l’ipotesi del continuo o la sua negazione per la teoria degli insiemi.

3Una tale classificazione è senz’altro utile per la considerazione del ruolo che un esperimento mentale può avere rispetto ai vari livelli di sviluppo possibile di una disciplina o di una teoria. Tuttavia, una risposta che veda negli esperimenti mentali gli esperimenti più ‘autenticamente’ matematici, sembra presupporre altre domande che devono essere prese in considerazione perché la classificazione stessa possa essere considerata valida. Per prima cosa, possiamo chiederci più in generale che cosa costituisca un esperimento in matematica se la matematica, come si è già detto, non ha una controparte empirica, perlomeno non nel senso delle scienze naturali. In altre parole, c’è davvero qualcosa di carattere ‘autenticamente’ sperimentale in matematica? Solo una volta che si sia risposto a questa domanda è possibile chiedersi se ciò che è autenticamente sperimentale in matematica sia poi anche autenticamente mentale.

4In questo articolo, vedremo in primo luogo cosa comporta il riconoscimento dell’esistenza di esperimenti in matematica, e in secondo luogo in che modo questi esperimenti vengono svolti e a quali vincoli sono sottoposti. Ci concentreremo sugli esperimenti (mentali) del primo gruppo proposto da Anapolitanos, ovvero sugli esperimenti che vengono elaborati per far crescere una disciplina il cui apparato concettuale deve ancora essere indagato nelle sue conseguenze e del quale si possono fornire nuove interpretazioni. Per farlo, presenteremo tre esempi differenti e tre approcci distinti al problema, e cercheremo di trarne un’unica conclusione generale: la sperimentazione è un’attività propria della matematica ma possiede delle dinamiche particolari rispetto alla sperimentazione nelle scienze naturali.

2. Esperimenti mentali e risoluzione di problemi

5Torniamo sul paragone tra matematica e scienze naturali. Rav (2005) propone di immaginare che la matematica, analogamente alle scienze naturali, viva nell’interazione costante tra tre poli che si sostengono l’un l’altro, in un flusso continuo che prende vita all’interno delle dinamiche della ricerca scientifica. I tre poli sono rispettivamente il polo della teoria, il polo della tecnologia e il polo dell’esperimento, e si trovano in relazione l’uno con l’altro come nello schema che segue:

6Vi è tuttavia un aspetto che Rav rileva e che è specificamente matematico, e per questo utile per riconoscere, oltre a cosa le unisce, anche cosa distingue matematica e scienze naturali. Secondo il matematico, nel caso della matematica, i tre apici del triangolo teoria-esperimento-tecnologia si fondono in un unico punto. Nel suo lavoro creativo, il matematico si trova infatti a interpretare nello stesso momento il ruolo del teorico, dello sperimentatore, e dell’ideatore di strumenti utili per la sua indagine, tutto ciò in vista del suo obiettivo principale, che è costituito dalla risoluzione di un problema. La matematica è un’attività di ricerca che parte da ipotesi e compie esperimenti per mettere queste ipotesi alla prova. Inoltre, la matematica fa uso di tecnologie di diverso tipo nonché di formati differenti per gestire l’informazione a disposizione. Esiste dunque per necessità un’interazione continua tra individuazione di nuovi problemi e uso e creazione di strumenti per risolverli, un’interazione che Rav considera un processo dialettico.

7Tuttavia, l’immagine di una matematica come scienza in continua evoluzione non è quella che ci è stata trasmessa dagli approcci tipici della logica del Novecento, interessati alla ricerca di una fondazione solida epistemica e ontica per la matematica, che spesso prendeva la forma di sistemi assiomatici formali. Negli ultimi quarant’anni, la filosofia della matematica si è però allontanata da questi temi, e ha iniziato a considerare la pratica della matematica e il lavoro dei matematici, ovvero la matematica come attività umana.

8Come noto, Imre Lakatos è stato tra i primi a criticare gli approcci tradizionali in Dimostrazioni e Confutazioni: secondo Lakatos, accettare il punto di vista del formalismo, allora predominante, voleva dire essere tentati di parafrasare Kant, e ammettere che la storia della matematica, avendo perso la guida della filosofia, era diventata cieca, e d’altra parte la filosofia della matematica, avendo voltato le spalle ai fenomeni più interessanti della storia della matematica, era diventata vuota. Nei trent’anni trascorsi dalla pubblicazione di questo libro, si sono tentate nuove strade che considerassero l’evoluzione della matematica e i suoi processi cognitivi.

9Per esempio, sempre in Dimostrazioni e Confutazioni, Lakatos si concentra sul procedimento informale che porta a una dimostrazione. L’idea di Lakatos è che la ricerca di una dimostrazione, che resta pur sempre l’obiettivo principale dell’attività matematica, coinvolge perlomeno in una prima fase un ragionamento dinamico e informale. Secondo Lakatos, il formalismo è pericoloso come posizione teorica perché invita (i) a fare alcune affermazioni – in maniera del tutto legittima – a proposito di sistemi formali; (ii) poi, a dire che questo qualcosa si applica alla ‘matematica’ – di nuovo in maniera legittima, quando si accetti l’identificazione di matematica e sistemi formali; (iii) successivamente, con un ‘furtivo’ slittamento di significato, a usare il termine ‘matematica’ secondo il significato corrente. Il punto è: qual è allora il significato ‘corrente’ della matematica? Che cos’è la matematica? La matematica è forse una scienza analoga alle altre, che possiede anche una parte sperimentale? Lakatos non è d’accordo con il formalismo: il controllo informale che si dà comunemente di una dimostrazione nell’attività matematica è impresa molto delicata, e a volte trovare un errore richiede la medesima comprensione profonda e la stessa dose di fortuna di quelle che sono coinvolte nella scoperta di una dimostrazione. Per questo, Lakatos suggerisce di applicare il suo metodo di dimostrazioni e confutazioni che, di fatto, dà le regole per la costruzione di un vero e proprio esperimento mentale. Il metodo parte da una congettura che si tenta di dimostrare (o di confutare), e segue tre principali regole euristiche.

10La prima regola si riferisce a due diverse fasi: in un primo momento, si procede all’analisi della dimostrazione, ispezionandola in ogni sua parte, e preparando una lista di lemmi da controllare; in un secondo momento, si generano controesempi globali, che si riferiscono alla congettura, e controesempi locali, che vengono mossi contro alcuni lemmi sospetti. Se si sono trovati dei controesempi globali, che hanno reso falsa la congettura, si passa alla seconda regola; se si sono trovati dei controesempi locali, si passa invece alla terza. La seconda regola suggerisce di aggiungere alla analisi della dimostrazione un lemma adatto, che faccia in modo che il controesempio non si possa presentare, e di sostituire la congettura iniziale con una sua nuova versione migliorata che includa il lemma in questione come ulteriore condizione. Non si devono, ammonisce Lakatos, eliminare le confutazioni e i controesempi problematici etichettandoli come ‘mostri’: al contrario, è necessario rendere espliciti tutti i lemmi che ancora sono nascosti. La terza regola, infine, propone di controllare che il controesempio locale non sia in realtà un controesempio globale; in questo caso, si torna alla seconda regola:

11È questo il procedimento dinamico alle spalle di una dimostrazione: esso richiede un controllo continuo delle conseguenze, e una ricerca continua di possibili errori, tramite l’introduzione di controesempi e lemmi. Lakatos apre un filone di ricerca che si è interessato alle pratiche della matematica: ecco che gli esperimenti mentali, nel loro intimo collegamento con il processo di risoluzione dei problemi, entrano di diritto nell’attività matematica.

12George Polya si era già dedicato all’indagine della risoluzione di problemi, di nuovo ponendo l’accento sugli aspetti più informali che davano origine a un’argomentazione o una dimostrazione matematica. Secondo Polya (1945), un problema matematico si risolve in quattro fasi. Per prima cosa, è necessario comprendere il problema; in una seconda fase, si deve escogitare un piano per risolverlo; in terzo luogo bisogna portare avanti questo piano, e per ultimo è necessario non dimenticare di guardarsi indietro e di riconsiderare i propri passi, introducendo solo in questo ultimo caso l’elemento formale. Anche per Polya, infatti, procedere in maniera inesorabile dai dati conosciuti alle loro premesse sconosciute e dall’ipotesi alla conclusione, sebbene potesse essere l’obiettivo della quarta fase di controllo dell’argomentazione, non permetteva tuttavia di comprendere la linea principale dell’argomentazione.

3. Esperimenti (mentali) e teoria

13Uno dei filosofi che ha tentato di riconciliare la dimensione deduttiva della matematica e le sue dinamiche sperimentali qui evidenti, è Charles Sanders Peirce. In matematica, non si fanno esperimenti solo per individuare degli assiomi ‘giusti’, come sembra suggerire la concezione assiomatica, quanto piuttosto per scoprire, osservare, essere sorpresi da quello che si può trovare. Lo stesso ragionamento deduttivo comporta un elemento osservazionale: si sperimenta su rappresentazioni dell’immaginazione, e si osserva il risultato dell’esperimento per scoprire relazioni non ancora avvertite tra le parti e il tutto. Gli esperimenti possono dunque servire per esplorare l’apparato concettuale disponibile per una teoria, ma anche per farne emergere i limiti. In questo modo per esempio, ci si può rendere conto dei confini del potere espressivo di alcuni sistemi di rappresentazione comunemente utilizzati da una teoria.

14Hoffman (2004) discute la concezione peirceana di rappresentazioni ed esperimenti in matematica, secondo la quale la matematica deve essere considerata scienza sperimentale e fallibile. In effetti, Peirce sostiene che la scelta di un particolare strumento o di un particolare esperimento può portare a due risultati: in primo luogo, alla scoperta di nuove implicazioni a partire da costruzioni all’interno del sistema di rappresentazioni dato; in secondo luogo, allo sviluppo degli stessi mezzi attraverso i quali rappresentiamo, aprendo in questo modo la via a nuove costruzioni e nuovi risultati. Nel primo caso, è evidente l’importanza degli esperimenti matematici, ovvero degli esperimenti che Anapolitanos colloca nel primo dei suoi gruppi. Come spiega Hoffman, non possiamo mai avere una visione di insieme di tutte le implicazioni di ciò che ci è già noto. Solamente la sperimentazione che utilizzi alcune rappresentazioni in situazioni concrete rivela ciò che può essere contenuto implicitamente nel nostro stesso sistema di conoscenze. Tuttavia, esiste anche una seconda possibilità, che riguarda il cambiamento o lo sviluppo di questi sistemi. Secondo Peirce, ogni rappresentazione diagrammatica fa necessariamente uso di un sistema particolare di simboli, ma se il sistema viene cambiato nelle sue parti essenziali, i risultati ottenuti trasformando simboli e diagrammi saranno molto diversi. Per illustrare questo punto, Hoffman considera la dimostrazione che la somma degli angoli interni di un triangolo sia di 180°: se ci muoviamo all’interno del sistema della geometria euclidea, possiamo introdurre una retta parallela a uno dei lati del triangolo, parallela che esiste solo in quella geometria. In questo modo arriviamo alla ‘esperienza inevitabile’ di vedere che la somma degli angoli del triangolo è di 180°. Se però consideriamo la scoperta delle geometrie non euclidee, allora dobbiamo ammettere che la verità di questo teorema è relativa, ovvero va relativizzata al particolare sistema di rappresentazione preso in considerazione, in questo caso la geometria euclidea. Infatti, se immaginiamo la somma degli angoli interni di un triangolo in geometria iperbolica, essa risulterà più piccola di 180°; se la immaginiamo invece nella geometria di Riemann, risulterà più grande, come possiamo vedere facendo l’esperimento mentale di immaginare un mondo bi-dimensionale che abbia la forma di una sfera.

15Come mostra questo esempio, il sistema di rappresentazione selezionato in ciascuno di questi casi determinerà possibilità di costruzione molto diverse, e quindi gli esperimenti porteranno a risultati differenti. La creatività qui nel fare esperimenti mentali sta proprio nel valutare in che modo è possibile modificare gli strumenti matematici a disposizione, aggiungendone di nuovi, eliminandone di vecchi, ricostruendone l’ordine sistematico. Hoffman pone l’accento su come un computer, sebbene in linea di principio possa compiere esperimenti quanto un essere umano, non sembra poter riconoscere i limiti degli strumenti che utilizza, ovvero non si osserva nel momento in cui sperimenta.

16Possiamo concludere dunque che nell’effettuare un esperimento, il matematico riunisce assunzioni teoriche, messa alla prova di ipotesi a partire dalla teoria disponibile, e infine possibilità espressive dei sistemi di rappresentazione utilizzati:

4. Tre esempi e tre approcci (verso una conclusione)

17Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, esistono esperimenti matematici, ma perché essi siano svolti è necessario che il matematico sia padrone della teoria all’interno della quale vuole sperimentare e degli strumenti di cui questa teoria può servirsi. Daremo ora tre esempi di esperimenti in matematica per comprendere in che modo essi vengono sviluppati, e per capire fino a che punto l’affermazione che gli esperimenti matematici siano ‘autenticamente’ mentali possa essere condivisibile. I tre esempi rappresentano tre approcci molto diversi, il primo basato su un recupero della posizione di Kant sulla conoscenza a priori, il secondo sulla critica di Klein a diagrammi impossibili, il terzo sulla considerazione di risultati sperimentali legati alla realizzazione di un compito da parte di alcuni studenti.

4.1 Piegare triangoli (secondo Kant)

18Il primo esempio è discusso in Giaquinto (2008). Immaginiamo un quadrato iscritto in un secondo quadrato, come nella figura che segue:

19Chiediamoci cosa accadrebbe se afferrassimo i vertici del quadrato più grande e ripiegassimo i quattro triangoli verso l’interno, lungo i lati che essi hanno in comune con il quadrato più piccolo. Potremmo quindi formarci la credenza C: se qi (il ‘quadrato interno’) è il quadrato i cui vertici sono i punti medi dei lati di un quadrato q (il ‘quadrato di partenza’), allora le parti di q oltre qi possono essere disposte in modo tale da aderire esattamente a qi, senza che vi siano fessure o sovrapposizioni, e senza che la forma o la taglia della figura cambi.

20Giaquinto a questo punto si domanda su che cosa si basi la verità di questa credenza. Ci sono due possibilità: la sua verità è il risultato di una inferenza a partire dall’esperienza sensoriale, oppure si tratta di un esperimento mentale.

21La prima ipotesi non sembra essere plausibile, per i motivi che seguono. In primo luogo, si esclude che si possa trovare un controesempio per C. Infatti, una credenza acquisita e sostenuta unicamente da un’inferenza induttiva è spesso accompagnata dalla sensazione che potrebbe risultare che è falsa: la supposta evidenza non garantirebbe la credenza.

22Anche la seconda ipotesi va scartata. Piegare un quadrato nel modo descritto non è un esperimento mentale in senso stretto. Mancherebbe infatti in esso la fenomenologia del guardare e notare: ammesso che si visualizzi il piegamento dei triangoli su se stessi, non si potrebbe poi valutare il risultato di questo piegamento e quindi accorgersi che i triangoli hanno aderito perfettamente al quadrato interno. Inoltre, pensare che, sebbene sbagliamo a volte nell’osservare il mondo, siamo invece osservatori infallibili delle nostre esperienze interne, è ingiustificato. Immaginiamo la semplice domanda che può fare un oculista a un paziente: ‘vede una o due linee orizzontali?’. La risposta a questa domanda si basa sulla descrizione che il paziente è disposto a dare facendo riferimento a un aspetto della sua esperienza visiva, ma questo non vuol dire che egli sia persuaso di rispondere correttamente.

  • 1 La quantificazione universale ristretta è espressa da frasi della forma “Tutti gli F” o “Ogni F”: s (...)

23Platone avrebbe risposto che la verità della credenza C si basa piuttosto sul fatto che il soggetto crede C perché il suo stato cognitivo precedente includeva in maniera tacita la credenza C. Giaquinto si ispira a questa risposta, sostenendo che se anche lo stato cognitivo precedente del soggetto non includeva già in maniera tacita la credenza C, è tuttavia possibile che includesse delle risorse sufficienti per produrre la credenza C sulla base della visualizzazione. Perché però questo possa accadere, sono necessari diversi elementi: il soggetto deve possedere (1) delle categorie visive a cui accede nel riconoscere una configurazione di linee come quadrato o triangolo; (2) i concetti geometrici corrispondenti; (3) la capacità spontanea di fare collegamenti nella memoria associativa tra queste specificazioni di categoria; (4) etichette di categoria verbale; (5) i concetti geometrici per quadrati e triangoli; (6) una certa disposizione alla formazione di credenze attraverso la padronanza al possesso di questi concetti e la quantificazione universale ristretta1; (7) credenze di base a cui arriva attivando queste disposizioni.

24Non si tratta di un’evidenza empirica, come si è escluso considerando la prima ipotesi, ma di conoscenza a priori. Inoltre, il ragionamento del soggetto non dipende dall’analisi dei significati né da un procedimento deduttivo a partire da definizioni: il processo è un processo sintetico. Giaquinto conclude che vi siano dunque ragioni per accettare una visione vicina a quella di Kant, e di riconoscere che parte della conoscenza geometrica può essere sintetica a priori. Anche in un esperimento mentale apparentemente così semplice, sono coinvolti e influiscono l’uno sull’altro riconoscimento visivo, categorizzazione verbale, e disposizione a credenze.

4.2 Ogni triangolo è isoscele (secondo Klein)

25Klein (1908) presenta il caso di un diagramma apparentemente impeccabile che però porta a false conclusioni. Il suo obiettivo è mostrare che le figure non sono affidabili. Il suo esempio è la dimostrazione, fallace, che porta alla conclusione, falsa, che ogni triangolo è isoscele.

26Si consideri un triangolo arbitrario ABC e si tracci la bisettrice dell’angolo A e la perpendicolare del lato BC passante per il suo punto medio D. Se queste due linee fossero parallele, la bisettrice dell’angolo sarebbe anche l’altezza del triangolo, e il triangolo sarebbe isoscele in maniera ovvia.

27Si assume invece che queste due linee si incontrino, e si distinguono due casi possibili: il punto di incontro O può essere all’interno del triangolo o all’esterno del triangolo. In ciascuno di questi due casi, si tracciano i segmenti OE e OF che sono perpendicolari rispettivamente a AC e a AB, e si unisce O a B e a C.

28Nella prima figura, O è interno al triangolo:

29I triangoli rettangoli AOE e AOF sono congruenti, poiché condividono l’ipotenusa AO, gli angoli in A sono uguali, come anche i due angoli retti; dunque, AF = AE. Allo stesso modo, i due triangoli rettangoli OCD e OBD sono congruenti, perché hanno in comune OD e DB = DC. Se i triangoli sono uguali, allora OB = OC. Ora, per la prima congruenza, OE = OF, ed è quindi è possibile derivare la congruenza dei triangoli OEC e OFB. Quindi, FB = EC e dunque, tenendo a mente l’equazione precedente, AB = AC: ABC è un triangolo isoscele.

30Nella seconda figura, O è esterno al triangolo:

31I triangoli OFA e OEA, OBD e OCD, OBF e OCE sono congruenti. Per questo, AF = AE, BF = EC. Per sottrazione, AB = AC: ABC è di nuovo un triangolo isoscele.

32L’errore presente in questi due tentativi, che porta a una conclusione falsa, è nel primo caso pensare che il punto O possa essere interno al triangolo, perché una situazione del genere non si presenta mai, e nel secondo caso che O possa essere tracciato come nella seconda figura, poiché dei due vertici alla base E e F, uno dovrà essere al di qua e l’altro al di là del lato su cui giace, come mostrato nella figura seguente, in modo che AB = AF - BF, e AC = AE + CE = AF + BF:

33Dopo aver svelato il ‘sofisma’ alle spalle dell’esperimento sbagliato sulla base del quale si conclude che ogni triangolo è un triangolo isoscele, Klein ammonisce il lettore: l’argomento fallace è basato su figure non accurate, in cui l’ordine corretto di punti e linee è stravolto. Se dunque c’è la possibilità che esistano figure non accurate, non è lecito fare affidamento su una serie di possibili esperimenti mentali matematici.

  • 2 Giardino e Piazza 2008: 89.

34Piazza (2008) analizza questo esempio, criticando l’interpretazione che ne dà Klein. In realtà, non è la figura a essere scorretta, ma il ragionamento che fa sì che la si tracci come nei due casi mostrati. Vi sono infatti una serie di ipotesi scorrette, e proposizionali, da cui le figure sono state attivate. Riportando l’efficace metafora che Piazza propone, è esattamente come se le due figure fossero un impeccabile identikit ottenuto dalla descrizione, presa per buona, di un testimone inaffidabile2. C’è quindi qualcosa di sbagliato nel ragionamento informale che è dietro la costruzione di queste figure, e non nelle figure stesse o nella possibilità di metterle alla prova: ancora una volta, assunzioni teoriche e limiti espressivi degli strumenti di cui la teoria fa uso si rivelano alla base di un esperimento e di una conclusione geometrica.

4.3 Triangoli all’infinito (secondo gli studenti)

35Anche in Bråting et al. (2008) vengono discusse alcune idee di Klein relative ai limiti della nostra intuizione spaziale. Nel 1893, Klein distingueva tra intuizione ‘ingenua’ e intuizione ‘raffinata’ per spiegare questi limiti.

36L’intuizione ingenua viene definita come qualcosa che può essere fallibile e inesatto. Per esempio, se immaginiamo una linea, non riusciamo a immaginare una ‘lunghezza senza spessore’, ma immaginiamo un segno di una certa larghezza, che corrisponde a una linea matematica solo se accettiamo una certa approssimazione. È solo questo tipo di intuizione a soffrire dei limiti di una visualizzazione imprecisa. L’intuizione raffinata è piuttosto il risultato di una deduzione logica a partire da assiomi considerati come verità esatte. Secondo Klein, tuttavia, questi assiomi non sono proposizioni arbitrarie, e nemmeno verità a priori, quanto piuttosto uno sviluppo attraverso un’idealizzazione dei dati inesatti che riceviamo attraverso l’intuizione ingenua. Gli Elementi di Euclide sono il risultato dell’applicazione del secondo tipo di intuizione, in quanto rappresentano una teoria che si basa su assiomi ben formulati. È vero però che, come gran parte della matematica, la geometria di Euclide ha avuto probabilmente una prima fase di sviluppo ‘ingenuo’. L’intuizione ingenua non ha unicamente un ruolo ‘storico’, ma rimane e continua a essere attiva in tutta la matematica, che non deriva unicamente dagli assiomi, ma prende vita attraverso l’intuizione. Le scoperte matematiche dipendono dall’intuizione ingenua e sono ripercorse dalla deduzione logica a partire dagli assiomi: la matematica non coincide con la logica, proprio perché l’intuizione ingenua non può essere mai totalmente messa da parte, nemmeno quando l’assiomatizzazione fosse completa. Di nuovo, è necessario considerare il ruolo del pensiero informale in matematica e della sua interazione con aspetti più formali che mirano al controllo della validità del procedimento.

37Per mettere in luce questo elemento informale e fallibile e allo stesso tempo evidenziare il peso della padronanza di altre conoscenze e dell’apparato concettuale necessario, Bråting e Pejlare propongono di studiare in che modo gli studenti mostrano di avere difficoltà nel vedere una conclusione matematica ‘corretta’ in una visualizzazione.

38Il problema matematico che viene preso in considerazione si basa sul cosiddetto ‘fiocco di neve’ di von Koch, il matematico svedese che elaborò una visualizzazione di una funzione continua non differenziabile in alcun punto di cui Weierstrass aveva donato una formalizzazione. Von Koch non era infatti soddisfatto di questa versione analitica della funzione, poiché essa non sembrava rispecchiare la natura fondamentalmente geometrica della funzione. Questa natura secondo von Koch veniva nascosta dalla formula di Weierstrass al punto che non fosse chiaro perché la curva non avesse una tangente: com’è possibile comprendere e allo stesso tempo non essere in grado di vedere? Per questo motivo, von Koch si adoperò per trovare una funzione continua ma non differenziabile in alcun punto in cui il suo aspetto geometrico riflettesse la sua proprietà. La funzione, costruita come limite di una sequenza infinita di funzioni esattamente come la funzione di Weierstrass, è una modificazione del frattale oggi noto come ‘fiocco di neve’ di von Koch. Secondo von Koch, questa funzione può essere rappresentata visivamente, e per questo è possibile vedere che essa è continua e non differenziabile in alcun punto: il riferimento è proprio alla intuizione ingenua di Klein, che ci permette di comprendere l’impossibilità di tracciare la tangente in ogni punto della curva.

39In realtà, secondo Bråting e Pejlare, nonostante von Koch avesse come obiettivo mostrare in che modo la visualizzazione e la sperimentazione di questo genere fossero centrali soprattutto nell’insegnamento della matematica, egli non si rese conto di come chi non fosse familiare con l’esistenza di funzioni continue ma non differenziabili avesse senza dubbio difficoltà a immaginare questa impossibilità. Davvero è solo la visualizzazione di questo esperimento mentale a darci la sicurezza che la funzione al limite sarà sempre continua, e non ‘cadrà a pezzi’ diventando discontinua?

40La loro idea è quindi quella di valutare se dal comportamento degli studenti emerga davvero una facilità nel riconoscere la funzione di von Koch come continua ma non differenziabile in alcun punto. Una curva del genere ha la proprietà dell’autosimilitudine: in un qualsiasi tratto, se ingrandito, si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente, e questo procedimento può proseguire all’infinito. Per questo motivo il fiocco di neve, pur essendo continuo, non ammette una tangente unica in alcun punto: ogni più piccola parte del fiocco di neve gode della proprietà dell’autosimilitudine, ovvero contiene in sé un’infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e quindi anch’esso è di lunghezza infinita.

41Gli studenti interpellati sono trentanove studenti universitari di matematica. A questo gruppo di studenti, viene presentato il seguente compito:

Si consideri la costruzione che segue:

Si prenda un triangolo equilatero di lato 1.
Nella terza parte di ogni lato, al centro, si costruisca un triangolo equilatero di lato 1/3. Si cancelli la base di ciascuno dei tre nuovi triangoli.
Nella terza parte centrale di ciascuno dei 20 lati, si costruisca un triangolo equilatero di lato 1/9. Si cancelli la base di ciascuno dei venti nuovi triangoli.
Si ripeta il procedimento con la figura di 48 lati così ottenuta.

Si prega di rispondere alle domande seguenti nel modo più accurato possibile:
1. Fino a quando è possibile ripetere questo procedimento?
2. Che figura si ottiene alla fine? Una figura continua? Una figura differenziabile?

42Nei risultati, la maggior parte degli studenti mostrano di non avere problemi con la prima domanda. Tuttavia, la seconda domanda dà luogo a numerose risposte differenti. Sedici degli studenti pensano che la figura ‘limite’ sia uniforme ovunque o a eccezione di un certo numero finito di punti. Sette di questi sedici studenti rispondono che si tratterà di un cerchio o di un quadrato, e nove di un ‘fiore’. Uno fra questi nove commenta che le punte così costruite all’infinito diventano infinitamente piccole e quindi genereranno una curva uniforme, sia continua che differenziabile:

43Quattordici degli studenti non pensano invece che la figura al limite sia ovunque uniforme, e mostrano dunque di avere familiarità con la curva a ‘fiocco di neve’. I rimanenti nove studenti non danno risposte che siano rilevanti per l’esperimento.

44La conclusione delle osservatrici è che, sebbene gli studenti abbiano ben presenti concetti matematici come la continuità, la differenziabilità e la convergenza, molti di loro non sono capaci di risolvere il problema ‘fiocco di neve’. Quello che questa ricerca mostra è che non basta essere a conoscenza di definizioni matematiche per poter compiere esperimenti mentali e tentare di risolvere problemi matematici: saremmo di fronte a un tipico esempio in cui è necessario conoscere anche come ‘utilizzare’ queste definizioni. Sembra quindi che von Koch abbia torto nell’affermare che la sua visualizzazione permetta di vedere subito che la funzione è continua ma non differenziabile in alcun punto. Inoltre, l’interpretazione di Bråting e Pejlare del commento dello studente sopra riportato è che quel particolare studente pensi che, dal momento che le punte sono infinitamente numerose e infinitamente piccole, la curva si ‘uniformerà’ e di conseguenza le singolarità scompariranno, e che quindi forse confonde la figura sulla carta o nella sua immaginazione con l’oggetto matematico su cui dovrebbe concentrare la sua attenzione.

5. Conclusione

45Torniamo a questo punto alle domande che ci siamo posti all’inizio della nostra indagine. In primo luogo, abbiamo cercato di dimostrare che la sperimentazione fa parte dell’attività matematica, ma che si tratta di un tipo di sperimentazione molto particolare, analoga e insieme diversa alla sperimentazione nelle scienze naturali. In matematica, infatti, il laboratorio dove si mettono alla prova le ipotesi a partire dagli assunti di una teoria è costituito dalla stessa mente e dalle stesse capacità rappresentazionali del matematico. Gli esperimenti mentali del primo gruppo proposto da Anapolitanos, ovvero quelli compiuti all’interno di una teoria stabilizzata di cui si indaga e si approfondisce l’apparato concettuale, hanno come obiettivo la risoluzione di un problema che nasce all’interno della teoria e si servono sia di conoscenze precedenti che dei sistemi rappresentazionali a disposizione per mettere alla prova delle ipotesi. Questo procedimento, pur essendo legato alla formalizzazione dei dati di partenza e dei risultati, è per sua natura informale, perché coinvolge un ragionamento che non è solo deduttivo, ma che si basa anche sull’individuazione di strategie di risoluzione e di dimostrazione che vanno al di là della semplice derivazione a partire da assiomi.

46Abbiamo mostrato tre esempi di come sia possibile fare degli esperimenti sui triangoli di genere molto diverso: triangoli come parti di un quadrato, triangoli ‘impossibili’, e infine triangoli che si ripetono all’infinito. In ciascuno di questi casi, abbiamo sottolineato il ruolo delle conoscenze precedenti, che sono di varia natura e che sono necessarie perché si possa comprendere l’esperimento e si sia capaci di utilizzare gli strumenti disponibili.

47Chiediamoci dunque alla fine del nostro percorso: gli esperimenti matematici maggiormente autentici sono specificatamente mentali? Possiamo dare una risposta positiva, e una negativa.

  • 3 Ringrazio Margherita Arcangeli e Roberto Casati per i suggerimenti e per i commenti alla prima stes (...)

48Possiamo infatti rispondere ‘sì’, se consideriamo il fatto che, come suggerito da Rav, il matematico è, diversamente dallo scienziato della natura, a un tempo teorico, sperimentatore e tecnico: ogni esperimento è in continua interazione, un’interazione non banale né ‘meccanica’, con assunti teorici, ipotesi da mettere alla prova e tecnologie di riferimento. Possiamo invece rispondere ‘no’, se vogliamo sottolineare il polo ‘tecnologia’ della triade proposta da Rav: la matematica ha creato i suoi sistemi di rappresentazione, accettati di volta in volta come affidabili dalla comunità, dei quali si può imparare il funzionamento. Questi strumenti possono, analogamente a un macchinario di misurazione, essere applicati all’oggetto di studio. La matematica è dunque una scienza sperimentale, ma di una natura particolare: per testare le sue ipotesi, il matematico usa la sua mente come laboratorio, arricchendola continuamente dei sistemi di rappresentazione che la matematica ha nel tempo selezionato3.

Torna su

Bibliografia

Anapolitanos, D.A.

– 1991, Thought Experiments and Conceivability Conditions, in Horowitz T., Massey G.J., Horowitz T. (a c. di), Thought Experiments in Science and Philosophy, Rowman and Littlefield, Savage: 87-98

Bråting, K. e Pejlare, J.

– 2008, Visualizations in mathematics, «Erkenntnis», 68 (3): 345-358 Giaquinto, M.

– 2007, Visual Thinking in Mathematics. An Epistemological Study, Oxford, Oxford University Press

Giardino, V. e Piazza, M.

– 2008, Senza parole. Ragionare con le immagini, Milano, Bompiani Klein, F.

– 1908, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint, tr. di E.R. Hedrick e C.A.M. Noble, Courier Dover Publications, 2008

Kuhn, T.S.

– 1968, The Structure of Scientific Revolutions, Chicago - London, The University of Chicago Press; tr. it. La struttura delle rivoluzioni scientifiche, Torino, Einaudi, 1999

Hoffmann, M.H.-G.

– 2004, How to get it. Diagrammatic Reasoning as a Tool of Knowledge Development and its Pragmatic Dimension, «Foundations of Science», 9: 285-305

Lakatos, I.

– 1976, Proof and Refutations: the Logic of Mathematical Discovery, Cambridge, Cambridge University Press

Polya, G.

– 1945, How to solve it, Princeton, Princeton University Press Rav, Y.

– 2005, Reflections on the Proliferous Growth of Mathematical Concepts and Tools: Some Case Histories from Mathematicians’ Workshops, in C. Cellucci e D. Gillies (a c. di), Mathematical Reasoning and Heuristics, London, King’s College Publications: 49-69

Robinson, A.

– 1996, Non-standard Analysis, Princeton, Princeton University Press

Torna su

Note

1 La quantificazione universale ristretta è espressa da frasi della forma “Tutti gli F” o “Ogni F”: se si possiede questo concetto, allora si crederà alla proposizione “Ogni F ha G” se e solo se si ritenga cogente una inferenza data qualsiasi della forma “x ha F, e così x ha G”.

2 Giardino e Piazza 2008: 89.

3 Ringrazio Margherita Arcangeli e Roberto Casati per i suggerimenti e per i commenti alla prima stesura dell’articolo. Questa ricerca è stata finanziata dal settimo Programma quadro della Comunità Europea ([FP7/2007-2013]) attraverso una Marie Curie Intra-European Fellowship for Career Development, contratto numero N° 220686 - DBR (Diagram-based Reasoning).

Torna su

Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Valeria Giardino, «Sperimentare con i triangoli»Rivista di estetica, 42 | 2009, 39-54.

Notizia bibliografica digitale

Valeria Giardino, «Sperimentare con i triangoli»Rivista di estetica [Online], 42 | 2009, online dal 30 novembre 2015, consultato il 24 juin 2024. URL: http://0-journals-openedition-org.catalogue.libraries.london.ac.uk/estetica/1832; DOI: https://0-doi-org.catalogue.libraries.london.ac.uk/10.4000/estetica.1832

Torna su

Diritti d’autore

CC-BY-NC-ND-4.0

Solamente il testo è utilizzabile con licenza CC BY-NC-ND 4.0. Salvo diversa indicazione, per tutti agli altri elementi (illustrazioni, allegati importati) la copia non è autorizzata ("Tutti i diritti riservati").

Torna su
Cerca su OpenEdition Search

Sarai reindirizzato su OpenEdition Search