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Abstract

Spatial perception and spatial representation are not less central to experimental psychology than to visual art. Geometry allows their description and formalization. Therefore, geometrical language can be considered as a kind of generative grammar, which is embedded in the human perceptual experience of space. The paper outlines the suggestion that Euclidean geometry, along with most perspective geometries, even when applied to geometrical problem solving, have phenomenal bases, since they emerge from direct experience of the world, and not necessarily from higher order cognitive processes.

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Testo integrale

  • 1  Bozzi 1961.

… non ci occorre una geometria più elaborata (o elaborata a partire da una assiomatica diversa) di quella euclidea: quella di cui ci serviamo negli studi di psicologia della percezione è, in ultima analisi, la geometria di Euclide1.

1. Schema del discorso

  • 2  Massironi 2002.

1La relazione tra la geometria e l’arte può essere considerata una relazione profonda, una di quelle relazioni stabili e reciprocamente necessarie e da sempre sottoposta a intensa analisi ontologica per il tipo di implicazioni che la geometria (matematica) ha sulla natura del mondo, della conoscenza, e della sua rappresentazione. È evidente ai nostri occhi il fatto che le tracce di questa relazione, linee, punti, superfici, si assomiglino molto sia che si sfoglino libri di geometria o trigonometria, monografie di immagini di stili e periodi storici, o monografie delle opere di artisti2. E siamo anche tutti sufficiente d’accordo che la geometria, tra le varie funzioni, ha quella di garantire all’esperienza fenomenica dello spazio il suo aspetto fenotipico e che lo spazio sia imprescindibilmente legato alla natura della rappresentazione pittorica.

  • 3  Boyer 1968.
  • 4  Zellini 1999.

2Di fatto la geometria e l’uso del calcolo e delle sue misure nascono come forme di trascrizione, di volta in volta con un maggiore o minore grado di isomorfismo e precisione, dell’esperienza diretta delle superfici sulle quali l’uomo si muove, agisce, opera, modifica, mettendo in relazione grandezze, tracciando confini, trasportando in scala su altre superfici, pergamene, carte, mappe, le grandezze stimate a occhio3. E lo fa anche usando strumenti che personificano punti, angoli, linee e con questa aritmogeometria individua e computa le relazioni di grandezza relativa, di disparità e uguaglianza4. La ricerca degli strumenti per la trascrizione dell’esperienza dello spazio ha dovuto anche dare conto di ciò che gli strumenti assiomatizzati nella loro forma rigida non ammettevano: il compasso disegna cerchi o archi di circonferenza e non ellissi o iperbole; il righello non raccoglie la differenza di lunghezza percepita di una ben fatta Müller-Lyer. Di questa geometria l’arte ne ha fatto il proprio oggetto e, libera dai vincoli imposti dalla comunità delle scienze esatte, ha rivolto la ricerca del criterio dell’esattezza alla misura del grado di rispetto del rendimento percettivo, fenomenico, dichiarato dal percettore umano. Il prodotto della ricerca artistica costituisce dunque, prima della nascita della psicologia sperimentale, un altro luogo iuxta propria principia, oltre alla psicologia sperimentale, che estrae e mostra conoscenza sul mondo delle geometrie fenomenologiche dell’esperienza umana dello spazio.

2.Tratto da Bozzi 1961

3Come abbiamo visto precedentemente, non ci occorre una geometria più elaborata (o elaborata a partire da una assiomatica diversa) di quella euclidea: quella di cui ci serviamo negli studi di psicologia della percezione è, in ultima analisi, la geometria di Euclide. Né ci serve una dinamica o una cinematica più avanzata di quella galileiana e newtoniana per descrivere, per esempio, i movimenti. Ma la geometria euclidea appunto (del cui linguaggio si serve anche la meccanica elementare) è costruita sulla base di definizioni – Ὅροι – dei Libri di Euclide – che pure valendo come definizioni puramente formali, sono nello stesso tempo descrizioni del modo immediato di apparire, vorrei dire del “disegno” con il quale si esemplifica la struttura delle entità geometriche elementari. Questa geometria è fin dall’inizio un linguaggio fondato sulle nostre esperienze fenomeniche.

 

4Dice Euclide:

αʹ. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
(1. Il punto è ciò che non ha parti)

βʹ. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
(2. La linea è una lunghezza senza larghezza)

ϛʹ. ᾿Επιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
(6. Le estremità di una superficie sono linee)

ιγʹ. ῞Ορος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
(13. Un margine è ciò che è l’estremità di qualcosa)

ιδʹ. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
(14. Una figura è quello che è contenuto da un margine, o da più margini)

5Pure essendo tutte le entità geometriche più complesse derivate deduttivamente da quelle più semplici, grazie ad alcune regole, le entità semplici sono sufficientemente congruenti con la nostra esperienza visiva delle corrispondenti rappresentazioni grafiche perché si possa parlare, con un coerente linguaggio geometrico, degli aspetti geometrici della nostra esperienza diretta.

6Una affermazione come questa sembrerà a molti del tutto azzardata. Si è sempre detto che le entità geometriche elementari non trovano riscontro nell’esperienza, perché di essa sono solo un’ardita astrazione. Ma penso che poche considerazioni bastino a farci ricredere di questo pregiudizio scolastico. Per quanto riguarda il punto – inteso come entità visibile senza parti – basterà una citazione da Hume, che in realtà è un esperimento di fenomenologia della percezione: se fate una macchia d’inchiostro sulla carta e, tenendoci gli occhi fissi, vi ritirate a distanza finché non la perdete di vista, constaterete facilmente che l’immagine o impressione, nel momento prima di sparire, era perfettamente indivisibile. Né è per mancanza di raggi luminosi che le particelle dei corpi lontani non trasmettono nessuna impressione sensoriale ai nostri occhi, ma perché sono state trasportate più in là di quella distanza in cui le loro impressioni, ridotte al minimum, non erano più suscettibili di ulteriore diminuzione. Un microscopio o un telescopio, che renda visibili quelle particelle, non produce nuovi raggi di luce, ma soltanto allarga quelli che già se ne sprigionano, e, dando parti all’impressione che a occhio nudo appariva semplice e non composta, la fa progredire fino a un minimum prima impercettibile.

7La distinzione tra ingredienti fisici (raggi) e visibilità è proposta in modo nettissimo, e per questa via, il non aver parti, eppure esistere nella percezione, diventa un fatto evidente. Questa analisi risale al 1737, infatti essa è contenuta nella prima parte del Treatise; roba vecchia, per poter giovare in una discussione di psicologia scientifica. Ma l’argomento è ripreso tale e quale da Rubin – lo scopritore del problema della figura e dello sfondo – nel 1921, nel poco noto opuscolo Die Flechenfigur, die Kontur und der Strich, ed è applicato alla linea, ciò che secondo Euclide è lunghezza senza larghezza. Se allontanate da voi un foglio su cui sia tracciata una linea, poco prima che essa diventi non più visibile scoprirete di non poter più distinguere il suo bordo di destra da quello di sinistra (se è tracciata verticalmente) o il suo limite superiore da quello inferiore (se è disposta orizzontalmente). Da vicino la linea è in realtà una fascia, ma laggiù è adesso proprio una lunghezza senza larghezza. La definizione 13 trova la sua base fenomenologica nelle analisi condotte dai gestaltisti, in particolare da Koffka nei Principles, sulle proprietà dei margini: la loro funzione unilaterale quando staccano un’area dallo sfondo, e quella bilaterale quando coordinano due figure che hanno un margine in comune. Se il significato delle proposizioni geometriche poggia in definitiva su particolari aspetti dell’esperienza diretta, è abbastanza chiaro che il linguaggio geometrico – come è adatto per descrivere le costellazioni di stimoli – sarà adatto anche per descrivere gli aspetti fisico-geometrici degli oggetti direttamente constatati. Così, anche se alcuni aspetti qualitativi del mondo percepito risultano difficilmente descrivibili (come per esempio le qualità espressive, il “significato” delle percezioni), non è possibile affermare che l’esperienza immediata non può essere in nessun caso oggetto di descrizione. […]

  • 5  Bozzi 1961.

8Gli oggetti delle nostre constatazioni dirette – in quanto possiedono caratteristiche geometriche e fisiche ben definite e stabili – possono costituire il punto di partenza delle nostre indagini senza che per questo si vada incontro allo spettro dell’introspezionismo: lo stesso linguaggio della geometria e della fisica ci mette in grado di parlarne senza ambiguità, e di garantire quindi la validità intersoggettiva delle nostre descrizioni5.

3. Breve speculazione storica per immagini

  • 6  Gioseffi 1957, 1963.

9L’analisi sperimentale della percezione dello spazio che la psicologia ha sviluppato dalla sua nascita, dovrebbe coinvolgere anche la storia stessa del pensiero geometrico come archivio di possibili rendiconti della cognizione umana studiata longitudinalmente. Il contributo filologico, risolti problemi di attribuzione, dovrebbe svolgere la funzione di setaccio per estrarre il precipitato di invarianze percettive e cognitive dalla pula delle contingenze culturali dei tempi. La resistenza di Gioseffi6 ne è un esempio: alla eccessiva deriva della variabilità culturale sostenuta dalla tesi di Panofsky sulla funzione della geometria prospettica, Gioseffi oppone una tesi che fonda la ricerca delle leggi geometriche, per una coerente trasposizione sul piano pittorico dello spazio percepito nel mondo, in una cornice che, se non fosse per rispetto delle competenze disciplinari, non direi distante dalla ricerca delle leggi sulla percezione che stava maturando nella stessa Trieste con Bozzi, Kanizsa e Vicario, e con Metelli, Zanforlin e Burigana a Padova in questi ultimi anni.

  • 7  Savardi e Bianchi 2009.

10Ancora più a ritroso, un lavoro simile di comparazione tra ricerca contemporanea e testi classici, potrebbe essere fatto, per esempio, cercando di capire l’intero contributo di Euclide. L’accanimento nei secoli attorno al significato e alla tenuta del V postulato e la relativamente poca attenzione rivolta all’Ottica avrebbero forse meravigliato lo stesso Euclide: la sua Ottica deve pur sempre essere considerata non secondaria per importanza rispetto agli Elementi per una moderna fenomenologia dello spazio. In un precedente scritto7 abbiamo già argomentato attorno all’importanza dell’Ottica e rimandiamo a quel lavoro per una analisi più ampia del tema. Ci limitiamo qui a riportare tre immagini per una comparazione tra il modo in cui Euclide, nell’Ottica, tratta l’esperienza della convergenza fenomenica dello spazio e il modo in cui verrà usata da Piero della Francesca e poi riproposta da Gibson.

Fig. 1.1

Fig. 1.1

Le tre figure relative ai teoremi 6, 10, 11, usate da Euclide nell’Ottica per dimostrare la convergenza fenomenica delle superfici di fianco (a), in basso (b) e del soffitto (c), rispetto a un punto di vista centrale che procede verso l’orizzonte.

Fig. 1.2

Fig. 1.2

Come Piero della Francesca nel suo trattato sulla prospettiva usa il ribaltamento omologico per sviluppare la costruzione dello spazio prospettico (http://descrittiva4.blogspot.com/​2008/​08/​il-ribaltamento-omologico.html).

Fig. 1.3

Fig. 1.3

Le tre figure (adattate) usate da Gibson (1979) nel suo The Ecological Approach to Visual Perception, per mostrare l’organizzazione convergente dell’ambiente nel campo visivo.

11La geometria euclidea, integrata dall’Ottica, arriva fino a quella proiettiva. Questo è quanto la ricerca rinascimentale ha sviluppato integrando lo studio delle coniche con quello degli specchi (Fig. 2) fino al riconoscimento empirico mostrato dal Brunelleschi nella tavoletta virtuale del Battistero: collocata nel campo visivo, nella forma e nello spazio appropriato, diventa parte del mondo fenomenicamente reale. Per questa scoperta (o forse solo riscoperta) si parlerà di inganno dell’occhio fino a quando il Seicento ne farà, con il quadraturismo, un vasto progetto pittorico volutamente ostentato (pensiamo al lavoro ciclopico di affreschi di volte di chiese in giro per l’Europa condotto da Andrea dal Pozzo).

Fig. 2

Fig. 2

Un disegno che correda il trattato Della prospettiva, primi anni Sessanta del XV secolo (inizialmente attribuito all’Alberti) di Paolo dal Pozzo Toscanelli, matematico a Padova, amico e maestro di matematica del Brunelleschi (Garin 1996).

4. L’attenzione alla qualità

  • 8  Massironi 2002.
  • 9  Von Staudt 1847.
  • 10  Russel 1897.

12Non entreremo nel complesso e spesso conflittuale dibattito sulla genesi della scoperta o riscoperta delle regole prospettiche con lo scopo di redimere cause a favore o a torto. Vorremmo qui far convergere l’attenzione attorno al fatto che, da Euclide a oggi, pochi sono gli elementi necessari, e sempre gli stessi, che compongono la descrizione metrica e geometrica dell’esperienza dello spazio. E di volta in volta la forma grafica8 rimane la stessa, con o senza appendici di tipo algebrico o logico-analitico. Pare essere questa molto di più di una semplice opzione assiomatica verso una geometria più o meno fondabile di altre. Come in molti altri casi della storia del pensiero umano, sembra che la vera forma di invarianza sia quella di alcuni elementi fenomenicamente e qualitativamente stabili. Già in Von Staudt9 e Russel10 c’è convergenza attorno al fatto che le geometrie proiettive siano squisitamente qualitative, perché presenti e incontrate (nel senso di Metzger) longitudinalmente allo stesso modo, e che resisteranno parallelamente alle trasformazioni ed evoluzioni delle geometrie non euclidee.

  • 11  Von Eherenfels 1890.
  • 12  Massironi e Savardi 1991a, 1991b.

13Uno dei titoli che marca la nascita della psicologia della percezione è Über Gestaltqualitäten di Von Eherenfels11, nel quale la dimostrazione dell’esistenza di invarianza delle qualità (invarianza delle relazioni nello spazio melodico) è indipendente dalla manipolazioni delle proprietà dello spazio tonale. Anche in questo caso – come per un altro degli invarianti assunto in modo improprio come un invariante fondamentale della geometria proiettiva, il birapporto della quaterna12 che è una conseguenza e non la causa di invarianza – sono le relazioni interne alla melodia a garantire l’invarianza di identità.

14In questi ultimi anni è molto cresciuto il dibattito interno alla ricerca psicologica tra ricerca qualitativa e quantitativa13 a testimonianza del fatto che le preoccupazioni, non solo epistemologiche, ma anche e soprattutto di metodo per l’intera ricerca in psicologia, della Fenomenologia Sperimentale della Percezione hanno fondamenti ampi e giustificabili. È vero che non ne esiste una raccolta omogenea e sistematica e critica nella forma del manuale, ma è pur vero che la sfogliabilità in tempo reale del web forse non la giustifica nemmeno più, avendo a disposizione, almeno per quella italiana, tutta la produzione dei lavori in originale14.

  • 15  Kubovy e Gepstein 2002.

15Anche se non strettamente riconducibile alla tradizione percettologica italiana, Gogel nel 1990 scrive un lavoro intitolato A theory of phenomenal geometry and its applications, nel quale si sostiene, e dimostra, l’ipotesi che si possa costruire un sistema di equazioni in grado di dare ragione della esperienza dello spazio, facendo uso unicamente di informazioni consistenti e interne all’esperienza percettiva, senza ulteriori necessarie integrazioni cognitive. Ancora più recentemente, Kubovy e Gepstein15 studiano il raggruppamento percettivo nelle dimensioni spazio-tempo facendo ricorso a una psicofisica fenomenologica, riportando l’esperienza diretta del soggetto come fonte del dato psicofisico. Kubovy appena pochi anni prima (1986) aveva pubblicato The Psychology of Perspective and Renaissance Art, nel quale lo spazio pittorico rinascimentale viene ripercorso con l’occhio e le competenze del percettologo, mostrando e descrivendo le strutture, gli indizi, le forme dei pattern pittorici. Massironi dice, nella introduzione all’edizione italiana:

Ma il caso più importante messo in evidenza dall’autore, e che troverà il consenso di ogni percettologo di impostazione fenomenologica, consiste nella dimostrazione del fatto che i pittori dapprima costruiscono e poi di solito rispettano le regole della raffigurazione, come nel caso della prospettiva, ma ogni volta che applicano tali regole le sottopongono ad un’attenta verifica da parte della percezione e quando riscontrano che fra le due soluzioni (quella percettiva e quella geometrica) vi è contrasto, sarà la percezione a vincere.

16Senza innescare un profondo dibattito dal quale difficilmente se ne potrebbe uscire in maniera convincente e risolutiva, ma mantenendo il piano argomentativo più vicino al buon senso che alla stretta sillogistica, questo è il luogo di convergenza nel quale la ricerca artistica e la ricerca sperimentale in psicologia della percezione sono insiemisticamente intersecate, indistinguibili, e dovrebbero reciprocamente legittimarsi: lo studio sperimentale dell’esperienza dello spazio può prendersi in carico il riconoscimento degli aspetti qualitativi perché è possibile condividere metodologicamente qualità e quantità nel rispetto della primarietà del dato immediato. Un altro passo è quindi necessario: riconoscere carattere qualitativo a tutti quegli elementi della geometria, punti, linee, piani, angoli e loro movimenti nello spazio, che garantiscono un certo gradiente di fenomenicità percettiva.

5. Gradiente fenomenico: dalla percezione alla percezione

  • 16  Kanizsa 1984.

17Zeusi e Parrasio, nel racconto di Plinio il Vecchio, si cimentano in una sfida che ha per finalità l’esercizio del virtuosismo pittorico in grado di fare vedere cose dipinte come se non fossero tali ma fossero, invece, i corrispettivi oggetti reali: manipolazione di indizi per azzerare la soglia differenziale tra vedere e pensare. L’immagine pittorica è pur sempre una immagine e su questo, di solito, non c’è dubbio. Ma il fatto che se ne parli vuol dire che un certo grado di percorribilità fenomenica tra immagine e il suo referente che appartiene al mondo concreto, deve esserci e deve essere spiegata. Un modo, forse di taglia grossa ma che funziona, è quello di impostare il problema in termini di Vedere e Pensare16. I confini tra percezione e pensiero sappiamo che sono piuttosto sfumati. C’è una cosa nella terra di mezzo, che è quella dell’uso e recuperabilità delle immagini. Le immagini, da quando cominciano a essere presenti sulla nostra retina e diventano mondo, immagini percettive in senso stretto, acquistano una sorta di identità che permette loro di essere studiate e riconosciute come tali anche quando se ne parla come “immagini mentali” e il salto dal percettivo al cognitivo, dal vedere al pensare, potrebbe già essere autorizzato. Diciamo questo perché gran parte della geometria euclidea e della storia della sua applicazione in arte si muove entro questi territori: tra la sua capacità di costruire forme e spazi per/nella fruizione diretta e la possibilità di permanenza e di perlustrazione e trasformazioni attraverso il pensiero mantenendo quel certo grado di incontrabilità fenomenica che pur sempre ci permette di dire che non solo stiamo pensando a quella forma geometrica, ma anche che la stiamo guardando trasformarsi nello spazio davanti ai nostri occhi chiusi. Questo è un po’ quello che capita quando siamo coinvolti in compiti di perlustrazione di mappe, che si stia indicando la strada a un turista o che si stia cercando di perlustrare mentalmente la casa per vedere dove potremmo aver appoggiato gli occhiali che non troviamo. Le immagini sconfinano dalla retina e in maniera non autorizzata riescono a garantirsi una buona dose di presenza in un luogo, quello del pensiero, altro da quello strettamente deputato a un capitolo sulla percezione. O detta al contrario, le entità geometriche di Euclide nel Trattato, che poi di volta in volta sono state prosciugate dalla loro natura dimensionale, non hanno perso alcuna funzione malgrado zavorrate all’apparire di un certo colore, di una certa dimensione e con un certo orientamento nello spazio.

Intese le sopradecte cose, seguitaremo l’opera, facendo di questa parte dicta prospectiva tre libri. Nel primo diremo de puncti, de linee et supercie piane. Nel secondo diremo de corpi chubi, de pilastri quadri, de colonne tonde et de più facce. Nel terzo diremo de le teste et capitelli, base, torchi de più base et altri corpi diversamente posti.
Puncto è la cui parte non è, secondo i geumetri dicono essere immaginativo; la linea dicono avere lunghezza senza latitudine.
Et perché questi non sono aparenti se non è a l’intellecto et io dico tractare de prospectiva con dimostrazioni le quali voglio sieno comprese da l’ochio, perhò è necessario dare altra definitione. Dirò adunqua puncto essere una cosa tanto picholina quanto è posibile ad ochio comprendere; la line dico essere extensione da un puncto ad un altro, la cui larghezza è de simile natura che è il puncto. Superficie dico essere larghezza et longhezza compresa da le linee. Le superficie sono demolte ragioni, quale triangola, quale quadrangola, quale tetragona, quale pentagona, quale exagona, quale octagona et quale de più et diverse facce, commo per figure ve se dimostrerà. (Piero della Francesca)

  • 17 Bozzi 1976.

18Questo passo di Piero della Francesca è proprio all’inizio del De Prospectiva Pingendi, perché da subito sia chiaro che se vogliamo presentare, diremmo oggi, una teoria che regola l’esperienza della visione della pittura, e più precisamente l’esperienza delle forme dipinte e quindi dello spazio (la Prospettiva), dobbiamo collocare gli Ὅροι del Trattato di Euclide entro un paradigma che permetta la sostenibilità fenomenica di tutti i costrutti usati e, oggi diremmo, alla luce del lavoro di Bozzi del «Percept percept coupling»17. Antesignano in questo non è solo Piero, ma anche l’Alberti che nel Pittura e nell’Opera inedita et pauca separatim impresa, aveva già posto come necessario il carattere di percepibilità come “segnio” del punto differenziandosi dalla definizione in uso dai matematici. Come per le linee e i punti, così si esprime Piero anche per gli angoli:

Questo per se medessimo sequa, perché nel puncto non è quantità et la virtù visiva è solo un puncto et partendose linee da un puncto a l’estremità d’una cosa, de necesità fa angolo; benché io mecta nella pictura il puncto essere quantità, dico essere tanto picolina che onni altra quantità è magiore di quella. Adunqua, partendose linee da l’estremità de la cosa per picola che sia et terminando nell’ochio, cioè nel puncto, fanno angolo, dunqua quella cosa s’apresenta socto angolo.
Exemplo: sia.A. puncto et.BC. sia la quantità, et da le sue stremità tira linee terminante nel puncto.A., cioè.BA..CA. et tira.BC.; faranno tre angoli, perché.A. è un puncto farà angulo, et.B. è un puncto et.C. è un puncto, et tirando linee da un puncto a l’altro, non essendo per derictura, faranno triangolo, et io dico.A. essere un puncto dondo procede la virtù visiva et è uno angolo che è oposto a la quantità.BC., et quella receve fra le linee.AB..AC. socto l’angolo.A., ch’è l’ochio.

6. Problem solving geometrici

  • 18  Wertheimer 1945.
  • 19  Duncker 1935.
  • 20  Luchins 1970.

19Sarebbe una storia molto bella e lunga da raccontare quella di Wertheimer18 e Duncker19, il secondo allievo del primo, che dedicano ognuno un libro al pensiero produttivo. L’edizione italiana del libro di Wertheimer sarà curata da Bozzi mentre Petter curerà quella di Duncker. Dall’introduzione di Bozzi si capisce che in quegli anni, la riflessione sul pensiero produttivo era ampiamente condivisa e le prime riflessioni di Wertheimer dovrebbero essere fatte risalire ancora all’inizio del secolo. Oltre al libro, altrettanto importante per una comprensione a tutto tondo dello sforzo metodologico di Wertheimer è la rivisitazione della raccolta fatta dai coniugi Luchins20 delle lezioni tenute da Wertheimer in esilio alla University of Exile a New York alla fine degli anni Trenta.

20Quello che qui ci interessa è il fatto che il primo capitolo del libro di Wertheimer sia dedicato all’area del parallelogrammo e a una lunga catena di riflessioni sulla analisi delle figure geometriche. Quale è il problema contenuto nel fatto che nella ricerca dell’area della figura di sinistra (Fig. 3) si debbano operare manipolazioni percettive diverse da quelle che si applicherebbero alla figura di destra? Questo è il tipo di domanda che si pone Wertheimer nel trattare la relazione tra algoritmi ed euristiche (diremmo oggi alla luce della bibliografia contemporanea sul problem solving), quando queste ultime sono ancorabili alla possibilità di manipolazione fenomenica delle variabili della struttura sotto osservazione.

Fig. 3

Fig. 3

Le due versioni del trapezio usate da Wetheimer (vedi testo sotto).

  • 21 Arnheim 1969.
  • 22  Verstegen 2005.

21Gran parte del Visual Thinking di Arnheim21 affronta, con lo stesso spirito, la stessa questione22. Dove e in che modo l’immagine contribuisce alla forma del pensiero complesso? Sappiamo quale sia stata l’influenza di questa domanda e delle indicazioni offerte da Arnheim sullo sviluppo degli studi sulle immagini mentali. E da Wertheimer e Arnheim si può far nascere la convinzione che sia possibile sviluppare un programma di analisi della cinematica visuale attivata e attivabile nella perlustrazione delle trasformazioni di una figura geometrica relativamente a un punto di osservazione anche virtuale. Il primo esercizio di Wertheimer, dunque, ha a che fare con linee, proiezioni, orientamento, rotazioni; in generale con trattare l’evento sotto osservazione dilatandone l’identità e le sue trasformazioni nel tempo fenomenico ridimensionando la tavoletta di cera sulla quale, di volta in volta, si prova a disegnare la trasformazione del tutto o delle parti, per mettere in relazione le soluzioni note con altre possibili contenute nella formulazione del problema. Una sorta di retina virtuale sulla quale cancellare e riscrivere possibili soluzioni con quel certo stato di permanenza vicino all’immagine eidetica, postuma, senza perdere completamente la tracciabilità foveale.

22In questi ultimi anni sono nate molte applicazioni open source o software professionali (come http://geogebra.softonic.it/​) dedicate al mondo della didattica e del calcolo matematico e della geometria. Uno dei vantaggi di queste applicazioni è quello di offrire l’interazione spazio-temporale, in tempo reale, con le immagini di tutte le trasformazioni geometriche nello spazio piano e tridimensionale per la costruzione della sequenza cinematica. Il confine tra aspetti percettivi, elaborazione mnestiche, immaginazione, viene compresso nel tempo fenomenico del presente e traslazioni, rotazioni o trasformazioni proiettive sono presenti per l’intera durata dell’evento mantenendo una continuità fenomenica/percettiva, senza salti nel pensato. Una sorta di spiegamento senza soluzione di continuità della trasformazione fisico/geometrica in atto, in modo da garantire agli occhi la visibilità di tutte le trasformazioni fino a evento terminato. Se mai, il problema è quante volte rivedere il filmato alla ricerca di sequenze che non erano state notate o quanto diminuire la grana differenziale degli step della sequenza, aumentando il numero dei frame.

23Un buon ed estremamente semplice esempio è il teorema di Pitagora. In una delle sue formulazioni algebriche il teorema può essere espresso così: c = √ a2 + b2, e da questa si possono estrarre varie catene di dimostrazioni (Elisha Scott Loomis nella seconda metà dell’Ottocento raccoglierà 367 dimostrazioni in un libro ripubblicato nel 1968). In che relazioni stanno le dimostrazioni algebriche con le equivalenti trascrizioni per immagini?

Fig. 4

Fig. 4

Visualizzazione del Teorema di Pitagora. Esempio di disegno in sequenza che va da a ad l che permette la tracciabilità visiva dell’equivalenza delle aree mediante semplici rotazioni e traslazioni, previste dal teorema di Pitagora in un caso particolare di triangolo.
Con semplici rotazioni e traslazioni è possibile dimostrare che l’area dei due quadrati costruiti sul lato minore e su quello maggiore equivale all’area del triangolo costruito sull’ipotenusa.
Se questo fumetto fosse visto animato (almeno 24 disegni leggermente diversi dal secondo), il grado di immediatezza sarebbe ancora maggiore e i vuoti che in questo disegno necessitano di integrazione cognitiva, sarebbero colmati sul piano fenomenico.

24Il compito presentato nella Fig. 4 può essere risolto semplicemente seguendo ciò che accade a porzioni del campo visivo che si muovono definendo di volta in volta nuove relazioni con porzioni o con l’intero delle figure, sempre presenti nel capo visivo. Anche la proposizione 47 del Trattato di Euclide (Fig. 5), adottata anche come dimostrazione del teorema di Pitagora, può essere seguita montando passo passo trasformazioni di parti della figura e arrivando alla conclusione con una catena di relazioni plausibili, constatabili sul piano dell’esperienza diretta sotto i nostri occhi.

Fig. 5

Fig. 5

Euclide, Elementi, proposizione 46/47: «In ogni triangolo rettangolo, lo quadrato che uien descritto dal lato opposito all’angolo retto, dutto in se medesimo, è equale alli duoi quadrati che uengono descritti delli altri duoi lati». Per la dimostrazione completa e il testo originale, http://www.liberliber.it.

  • 23  Cherubini 2005.

25Abbiamo già sopra accennato e di nuovo precisiamo che non stiamo impostando argomentazioni da utilizzare per dimostrare confini, priorità o indipendenze della percezione diretta sul pensiero: c’è ampia bibliografia a questo proposito con ricerche e teorie a confronto (per una rassegna si veda il bel libro di Cherubini, Psicologia del pensiero23). Rimane il fatto che gli studi sperimentali sul pensiero si avvalgono di situazioni problemiche non diverse da quelle usate da Wertheimer, nelle quali la ricerca delle soluzioni può usare i mattoni dell’esperienza senza fare ricorso ad altri materiali assunti, supposti o ipotesi ad hoc. Ritorniamo all’esempio del trapezio di Wertheimer (Fig. 3) e vediamo come l’autore protocolla la ricerca della soluzione:

È stato accennato più sopra che qualche volta lo scolaro concentra l’attenzione prima, per esempio, sull’estremità sinistra del parallelogrammo, ed elimina la difficoltà tagliandola; poi trova la strada giusta trattando l’estremità destra come una lacuna da riempire, com’è richiesto dal disturbo avvertito in quel punto, e dal danno fatto lasciando a sinistra una parte di avanzo.

Una simile sequenza non sembra rappresentare adeguatamente quello che avviene in altri casi in cui il soggetto prende in considerazione le due direzioni, la modificazione, cioè, delle due estremità, in un’unica visione complessiva della figura: ciò che a sinistra è di disturbo, di troppo, a destra è visto proprio come ciò che occorre.

  • 24  Bianchi, Savardi, Kubovy 2011.

26Come da questo stralcio di protocollo risulta, e come Wertheimer pochi paragrafi prima dice, i soggetti non procedono per prove ed errori. Lo sviluppo argomentativo è una sorta di diairesi le cui nervature si sviluppano per analisi di relazioni tra proprietà che, a ben guardare, sono entro contrari fino alla soluzione – perché la struttura dello spazio è entro contrari fenomenici e a ogni variazione del punto di ancoramento percettivo (trasformazioni del mondo) o del punto di vista, in misura più o meno pregnante, constatiamo una variazione entro contrari24.

27Da alcuni anni abbiamo in corso, all’Università di Verona, un progetto di ricerca sulla importanza della focalizzazione attentiva sulle relazioni e le proprietà opposte nella struttura dei problemi geometrici e su quale sia la sua influenza nella soluzione dei problemi. Si tratta di impostare sperimentalmente ciò che lo studio e l’utilizzo della geometria hanno fatto per secoli e cioè studi, prove e ricerche in gran parte condotti nell’ambito della ricerca pittorica: dalle dimostrazioni del teorema di Pitagora agli esperimenti del Brunelleschi con gli specchi e, in generale, a tutta la ricerca per la formalizzazione della geometria proiettiva. Come a dire che ogni immagine, con molto o poco impegno nella architettura geometrica, è stata prodotta mediante la soluzione di problemi contenuti nelle trasformazioni geometriche adottate per riportare il mondo nell’immagine e il prodotto, l’immagine, diventa per il fruitore un nuovo problema. Produzione e fruizione dello stesso pattern generano due ordini di soluzioni non necessariamente simmetriche. Il problema di Köhler (Fig. 6) è un altro esempio nel quale la soluzione è «sotto gli occhi» e la nozione (algoritmo che può condurre alla soluzione) è indipendente dalla soluzione che si può trovare avvalendosi unicamente dell’analisi e confronto percettivo delle relazioni di lunghezza e grandezza.

Fig. 6

Fig. 6

Problema della circonferenza (Köhler, 1969). Formulazione: si dia un cerchio con raggio r, e in questo cerchio costruiamo un rettangolo. Se tracciamo la linea l dentro al rettangolo, qual è la lunghezza della linea? La soluzione si trova disegnando l’altra diagonale del rettangolo, intersecando l, che si vede essere coincidente con il raggio del cerchio (quindi implica un confronto tra linee verticali, orizzontali e oblique, rompendo l’ortogonalità della organizzazione dei diametri del cerchio che ancorano percettivamente la struttura).

  • 25  Branchini, Burro, Savardi 2009.
  • 26  Wertheimer 1965; Katona 1962; Kanizsa 1973; Majer 1931; Harrower 1932.

28I primi risultati di queste ricerche25, nelle quali si chiede a gruppi di soggetti in una condizione di interosservazione di risolvere alcuni problemi che implicano la manipolazione di variabili geometriche26, indicano che la ricerca della soluzione segue la procedura diairetica che abbiamo visto descritta da Wertheimer nella citazione sopra riportata. Gli esperimenti prevedevano una condizione sperimentale in cui ai soggetti veniva detto che la ricerca della soluzione avrebbe dovuto essere condotta facendo attenzione alle relazioni e alle trasformazioni contrarie. I risultati hanno mostrato che il tempo di soluzione è significativamente ridotto in questa condizione rispetto alla condizione di controllo (in cui l’indicazione non veniva data) e che le espressioni di soddisfazione categorizzate durante la discussione sono maggiormente presenti nei soggetti del gruppo sperimentale.

  • 27  Gardenfors 2000.
  • 28  Savardi e Bianchi 2009, Bianchi, Savardi, Kubovy 2011.

29È lecito chiedersi quale sia, e se ci sia, una intima e invariante relazione tra il fatto che l’impegno cognitivo nella soluzione di problemi si avvantaggi dal focalizzare le relazioni polari (opposte) delle dimensioni percettive del problema e le più generali strutture del pensiero creativo. Guilford, quando negli anni Cinquanta introduce la nozione di pensiero divergente, che ha avuto e ha ancora molta influenza sulle ricerche indirizzate allo studio della creatività, non è lontano dalla nozione di pensiero produttivo di Wertheimer e Dunker e dal contributo di Arnheim sull’importanza del pensiero visivo (al di là delle cronologie delle date di pubblicazione). Arnheim, produce una solida saldatura tra immagine e pensiero, tra l’architettura dello spazio (spazio-immagine) e del pensiero; lo “spazio della mente” non è più una metafora ma una connaturata identità dell’una sull’altro. In questi ultimi anni sono molti i tentativi (tra i più significativi quello di Gardenfors27) di approntare modelli metrici (geometrici) per spiegare il grado di vicinanza-lontananza, somiglianza-dissomiglianza, delle strutture semantiche. In questi ultimi anni28 abbiamo cercato una strada di sintesi che fosse in grado di fornire un invariante generale alla struttura dello spazio (cioè immagine) che viene assunto come necessario ai domini della cognizione e della percezione: nei domini della creatività (produttività/divergenza), delle immagini e del pensiero linguistico (semantica), lo spazio è il comune denominatore e la sua forma è, inevitabilmente per tutti i domini, quella della polarizzazione per contrari la cui natura è un dato esperienziale primario perché è la forma delle geometrie del mondo visto con gli occhi, forse addirittura geneticamente da presuppore alla struttura del quadrato logico aristotelico.

7. Gravità

  • 29  Pizzo Russo 1991, 2004.

30Questo incrocio tra arte e geometria è un punto di snodo attraversato da molti artisti: tra le ultime esperienze in questa direzione è quella dei gruppi (Gruppo T, Gruppo Zero, Gruppo N, grav, Equipe 57, Azimut, Miriorama) che sviluppati in Europa alla fine degli anni Cinquanta sono stati raccolti da Almir Mavigner nella mostra Nuove Tendenze a Zagabria del 1961. Quella stagione ha visto nascere per la prima volta lo studio della relazione tra immagini statiche e il movimento. L’arte cinetica non è stata solo tout-court l’acquisizione di un nuovo mezzo di comunicazione, quello del movimento, per promuovere un nuovo brand con maggiori possibilità commerciali. Questo può essere stato vero nel modo in cui la Op Art è poi diventata moda a New York. Non lo è stata nelle intime e autentiche intenzioni di quegli artisti che non hanno accavallato il profitto alla ricerca pura. Temi come forma, colore, dimensioni e movimento sono stati fatti covariare per trovare possibili esperimenti percettivi non ancora fatti nei laboratori di ricerca di psicologia della percezione che in quegli anni vedevano prendersi in carico la psicologia della Gestalt e quella Ecologica di Gibson. Quella dei Gruppi è stata una esperienza svincolata dalle metodologie sperimentali che la ricerca accademica si impone, ma ha analizzato fenomeni percettivi con la stessa abilità perlustrativa e speculativa dei migliori ricercatori della percezione. In quegli anni Josef Albers, artista fortemente impegnato anche nell’attività formativa e didattica, Max Bill, Henrik Berlewi, o gli italiani Getulio Alviani, Ennio Chiggio, Enzo Munari, Manfredo Massironi, hanno bucato i confini della ricerca espressiva e dell’informale, alla ricerca di fenomeni percettivi che avrebbero potuto essere oggetto di nuove scoperte e seguire le strade della pubblicazione scientifica invece di arredare le sale di gallerie d’arte. Per molti storici dell’arte moderna quella stagione sembra essere ormai chiusa perché tutti gli aspetti documentari sono ormai stati accertati e archiviati. Crediamo invece che la ricchezza contenuta in quelle biblioteche visuali di oggetti d’arte che ancora non trovano una sufficiente valorizzazione in un progetto di moderno museo (lo zkm http://www.zkm.de/​ rappresenta una realtà di riferimento del periodo per la sua attività museale e archivistica) possa permettere un eccellente esercizio di osmosi, metodologica ed epistemologica, in cui ricerca visuale artistica e ricerca accademica si confrontano e interrogano sui loro oggetti, confini, e reciproche identità29.

  • 30 Metelli 1970.

31Lo studio delle trasparenze è un altro esempio nobile di analisi della relazione tra il comportamento dello spazio fisico e fenomenico (2d vs. 3d). La trasparenza prodotta da tassellature in scale di grigio che Fabio Metelli30 ha formalizzato e trasformato in equazioni in grado di spiegare come superfici giustapposte possano diventare superfici sovrapposte e trasparenti, era già iniziato nell’acqua dei battesimi di Gesù ed esploso nelle tassellature cromatiche del suprematismo, costruttivismo e futurismo (Fig. 7).

Fig. 7

Fig. 7

a) Mosaico del Battesimo di Gesù, Battistero degli Ariani, Ravenna. b) Figure del modello generale per la trasparenza fenomenica Metelli, 1970 (adattato): in b1) le tassellature disgiunte e in b2) le stesse tassellature giustapposte che formano un cerchio trasparente sovrapposto a due rettangoli di differenti gradienti di grigio.

32Le ricerche di Manfredo Massironi sui nodi e sulle piegature (Fig. 8 a sinistra) sono diventate, invece, contemporaneamente pubblicazioni scientifiche apparse su riviste internazionali e oggetti d’arte esposte in mostre e musei. Una delle ultime riflessioni divergenti di Massironi deve ancora trovare un giusto posto nella analisi comparata tra arte e psicologia. Si tratta (Fig. 8 a destra) di una catenella appesa a un unico chiodo al quale viene anche appesa una qualsiasi cornicina di legno (quadrilatero regolare) per uno dei suoi angoli e lasciata libera: accade che la verticale occupata dalla catenella per naturale caduta coincida perfettamente con la diagonale che congiunge quel vertice appeso con il vertice opposto. In questo caso linea di gravità e diagonale della cornice, dati rappresentati, vengono oggettivati e la loro natura si trasforma in un dato incontrato con il quale interagire nello spazio e nel tempo, componendo e ricomponendo a piacere forma della cornice e della catenella, ottenendo sempre lo stesso risultato.

Fig. 8

Fig. 8

A sinistra, un’opera di Massironi, Piegatura, 1991, cartone colorato sotto vetro e cornice in legno ritagliati a formare una piegatura ai lati. A destra, Massironi che osserva una delle sue opere, Capolavoro, 2004.

  • 31  Per una discussione sull’importanza della centratura fenomenica, vedi Metzger 1941: cap. V, Il pro (...)
  • 32  Bozzi 1990.

33Due concetti, gravità e diagonale, uno che appartiene alla fisica e uno alla geometria, che assumono esistenza nel mondo delle cose indipendentemente dalla loro etichettatura linguistica o dal loro significato nel mondo della fisica e della geometria. Forse quest’opera di Massironi conserva ancora molte altre soluzioni e implicazioni, non meno di quella linea di Eulero che, intersecando tre punti notevoli di un triangolo qualsiasi, baricentro, circocentro, ortocentro31, identifica proprietà delle geometrie del mondo squisitamente qualitative e disponibili a essere considerate a pieno diritto oggetti dell’esperienza fenomenica. Non meno di tutta la geometria usata per organizzare spazio e forme dell’arte figurativa e non meno di molta della Fisica Ingenua che diventerà, dopo il lavoro di Bozzi32 un filone importante della ricerca su fondamenti fenomenici della fisica del mondo.

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Note

1  Bozzi 1961.

2  Massironi 2002.

3  Boyer 1968.

4  Zellini 1999.

5  Bozzi 1961.

6  Gioseffi 1957, 1963.

7  Savardi e Bianchi 2009.

8  Massironi 2002.

9  Von Staudt 1847.

10  Russel 1897.

11  Von Eherenfels 1890.

12  Massironi e Savardi 1991a, 1991b.

13  Lucidi 2008.

14http://www.ephplab.eu/news.php [link non raggiungibile 21/03/2017].

15  Kubovy e Gepstein 2002.

16  Kanizsa 1984.

17 Bozzi 1976.

18  Wertheimer 1945.

19  Duncker 1935.

20  Luchins 1970.

21 Arnheim 1969.

22  Verstegen 2005.

23  Cherubini 2005.

24  Bianchi, Savardi, Kubovy 2011.

25  Branchini, Burro, Savardi 2009.

26  Wertheimer 1965; Katona 1962; Kanizsa 1973; Majer 1931; Harrower 1932.

27  Gardenfors 2000.

28  Savardi e Bianchi 2009, Bianchi, Savardi, Kubovy 2011.

29  Pizzo Russo 1991, 2004.

30 Metelli 1970.

31  Per una discussione sull’importanza della centratura fenomenica, vedi Metzger 1941: cap. V, Il problema del centramento; e Arnheim 1982.

32  Bozzi 1990.

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Indice delle illustrazioni

Titolo Fig. 1.1
Legenda Le tre figure relative ai teoremi 6, 10, 11, usate da Euclide nell’Ottica per dimostrare la convergenza fenomenica delle superfici di fianco (a), in basso (b) e del soffitto (c), rispetto a un punto di vista centrale che procede verso l’orizzonte.
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Titolo Fig. 1.2
Legenda Come Piero della Francesca nel suo trattato sulla prospettiva usa il ribaltamento omologico per sviluppare la costruzione dello spazio prospettico (http://descrittiva4.blogspot.com/​2008/​08/​il-ribaltamento-omologico.html).
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Titolo Fig. 1.3
Legenda Le tre figure (adattate) usate da Gibson (1979) nel suo The Ecological Approach to Visual Perception, per mostrare l’organizzazione convergente dell’ambiente nel campo visivo.
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Titolo Fig. 2
Legenda Un disegno che correda il trattato Della prospettiva, primi anni Sessanta del XV secolo (inizialmente attribuito all’Alberti) di Paolo dal Pozzo Toscanelli, matematico a Padova, amico e maestro di matematica del Brunelleschi (Garin 1996).
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Titolo Fig. 3
Legenda Le due versioni del trapezio usate da Wetheimer (vedi testo sotto).
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Titolo Fig. 4
Legenda Visualizzazione del Teorema di Pitagora. Esempio di disegno in sequenza che va da a ad l che permette la tracciabilità visiva dell’equivalenza delle aree mediante semplici rotazioni e traslazioni, previste dal teorema di Pitagora in un caso particolare di triangolo.Con semplici rotazioni e traslazioni è possibile dimostrare che l’area dei due quadrati costruiti sul lato minore e su quello maggiore equivale all’area del triangolo costruito sull’ipotenusa.Se questo fumetto fosse visto animato (almeno 24 disegni leggermente diversi dal secondo), il grado di immediatezza sarebbe ancora maggiore e i vuoti che in questo disegno necessitano di integrazione cognitiva, sarebbero colmati sul piano fenomenico.
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Titolo Fig. 5
Legenda Euclide, Elementi, proposizione 46/47: «In ogni triangolo rettangolo, lo quadrato che uien descritto dal lato opposito all’angolo retto, dutto in se medesimo, è equale alli duoi quadrati che uengono descritti delli altri duoi lati». Per la dimostrazione completa e il testo originale, http://www.liberliber.it.
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Titolo Fig. 6
Legenda Problema della circonferenza (Köhler, 1969). Formulazione: si dia un cerchio con raggio r, e in questo cerchio costruiamo un rettangolo. Se tracciamo la linea l dentro al rettangolo, qual è la lunghezza della linea? La soluzione si trova disegnando l’altra diagonale del rettangolo, intersecando l, che si vede essere coincidente con il raggio del cerchio (quindi implica un confronto tra linee verticali, orizzontali e oblique, rompendo l’ortogonalità della organizzazione dei diametri del cerchio che ancorano percettivamente la struttura).
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Titolo Fig. 7
Legenda a) Mosaico del Battesimo di Gesù, Battistero degli Ariani, Ravenna. b) Figure del modello generale per la trasparenza fenomenica Metelli, 1970 (adattato): in b1) le tassellature disgiunte e in b2) le stesse tassellature giustapposte che formano un cerchio trasparente sovrapposto a due rettangoli di differenti gradienti di grigio.
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Titolo Fig. 8
Legenda A sinistra, un’opera di Massironi, Piegatura, 1991, cartone colorato sotto vetro e cornice in legno ritagliati a formare una piegatura ai lati. A destra, Massironi che osserva una delle sue opere, Capolavoro, 2004.
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Per citare questo articolo

Notizia bibliografica

Ugo Savardi, «Geometrie da vedere»Rivista di estetica, 48 | 2011, 153-173.

Notizia bibliografica digitale

Ugo Savardi, «Geometrie da vedere»Rivista di estetica [Online], 48 | 2011, online dal 30 novembre 2015, consultato il 12 juin 2024. URL: http://0-journals-openedition-org.catalogue.libraries.london.ac.uk/estetica/1544; DOI: https://0-doi-org.catalogue.libraries.london.ac.uk/10.4000/estetica.1544

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