• 1 G. L’Huillier, Le Quadripartitum Numerorum de Jean De Murs. Introduction et édition critique, Genèv (...)
• 2 H. L. L. Busard, De Arte Mensurandi : A Geometrical Handbook of the Fourteenth Century, Stuttgart, (...)
• 3 L’ensemble des travaux de Jean de Murs sur la musique est traduit dans C. Meyer, Jean de Murs. Écri (...)

3Les œuvres connues de Jean de Murs témoignent d’une activité scientifique continue entre 1317 et 1345 au moins. Originaire du diocèse d’Évreux, Jean de Murs a travaillé dans différents contextes : celui de l’université de Paris et de ses collèges (Collège de Sorbonne plus particulièrement), celui de l’école d’Évreux, ceux de différentes abbayes (Fontevrault, Bec-Hellouin), celui de la communauté de chanoines de l’église de Mézières en Brenne ou enfin celui de la cour de Clément VI en Avignon. L’ensemble de son œuvre en fait l’un des plus importants maîtres de la Faculté des Arts de l’Université de Paris durant la première moitié du XIV^e siècle. Ses deux principales œuvres mathématiques, le Quadripartitum numerorum1 et le De arte mensurandi2, rédigées à la fin de sa carrière scientifique, sont de véritables sommes des savoirs arithmétiques et géométriques du XIV^e siècle latin. Largement imprégnées de problématiques et de méthodes algébriques, elles seront lues jusqu’au cœur du XV^e siècle par des mathématiciens comme Regiomontanus. Avec la Noticia artis musicae (1321) puis le De musica3 (1323-1325), Jean de Murs construit le cadre théorique du style polyphonique de l’Ars nova qui, porté notamment par Guillaume de Machaut, caractérisa une grande partie du XIV^e siècle. Plusieurs textes enfin en font l’un des astronomes majeurs de son époque : acteur essentiel de la mise en place des tables alphonsines latines, rédacteur de plusieurs traités sur la réforme du calendrier julien, y compris à la demande du pape Clément VI, il nous laisse aussi plusieurs comptes rendus d’observations précis et détaillés. L’originalité et l’importance de Jean de Murs tiennent en outre au fait singulier qu’il s’est exclusivement consacré aux sciences du quadrivium à une période où la majorité des artiens parisiens se préoccupaient essentiellement de commenter la logique, la physique et la métaphysique d’Aristote. Au sein de son œuvre astronomique la Tabula tabularum est un court texte, rédigé en 1321, traitant spécifiquement de questions relatives aux mathématiques utiles à la mise en place et à l’utilisation des tables alphonsines.

• 5 L’un de ces témoins, le manuscrit de Berlin, est pour nous remarquable, car il fait suivre le texte (...)
• 6 F.S. Benjamin et G.J. Toomer, Campanus of Novara and Medieval Planetary Theory. Theorica Planetarum (...)

5Ils attestent au moins trois types de lectures de la Tabula tabularum. Les trois premiers manuscrits transmettent le texte dans un environnement intellectuel mêlant astronomie et astrologie. Les traités astrologiques se trouvent alors en fin de volume après les textes astronomiques. Ce type de manuscrits illustre des lectures du texte de Jean de Murs par des praticiens pour lesquels les tables astronomiques en elles-mêmes ne constituent qu’un moyen pour parvenir à formuler des jugements astrologiques5. Les deux derniers témoins de la liste proviennent du cercle scientifique de Jean de Gmunden (ca. 1380-1442) et ont un contenu d’astronomie purement mathématique. Ce type de manuscrit indique une lecture par des astronomes d’un très haut niveau technique dont les préoccupations principales portent sur l’amélioration des outils tabulaires de l’astronomie. Cette première distinction est déjà remarquable, car elle permet de souligner que la Tabula tabularum, tout en étant un texte utile pour mener effectivement des calculs avec les nombres sexagésimaux, garde un intérêt même pour des astronomes très spécialisés qui n’ont pas nécessairement besoin d’adjuvant pour effectuer ces calculs. Enfin, le témoin parisien, qui porte un ex-libris de John Dee, donne à cet opuscule un rôle d’articulation entre les aspects théoriques et pratiques de l’astronomie. Il contient en effet la Theorica planetarum de Campanus de Novare6, la Tabula tabularum de Jean de Murs et une brève série de tables astronomiques. Ce manuscrit, originaire de Carpentras et daté de 1454, témoigne donc de l’insertion du texte de Jean de Murs dans un ensemble mettant en scène une certaine articulation entre les aspects spéculatifs et pratiques de l’astronomie. Il n’est pas anodin que cette articulation soit faite au moyen d’un texte mathématique, relevant qui plus est de l’arithmétique et non, comme on l’attendrait dans un contexte quadrivial classique, relevant de la géométrie. En outre, le texte théorique choisi est celui de Campanus de Novare qui, parmi les différentes théories des planètes médiévales, est l’un des seuls à discuter la valeur précise de certains paramètres du modèle géométrique et donc à se soucier d’astronomie numérique.

• 7 Ainsi, d’une certaine façon, cette table est éphémère, sans être pour autant le simple support d’un (...)
• 8 Sur ce commentaire, voir Porres, Les tables astronomiques, vol. I, p. 90, 120 et 129 ; vol. III, p. (...)

6La table elle-même, très simple à réaliser, semble beaucoup moins diffusée que les canons qui en présentent l’usage7. Le seul témoin connu est le manuscrit de Londres, British Library, Add. 24070, fol. 55^r-56^v. Ce manuscrit ne présente d’ailleurs pas la table accompagnée des canons de Jean de Murs, mais de la nouvelle série d’instructions et de commentaires rédigée par Jean de Gmunden au XV^e siècle à partir de l’ouvrage de son prédécesseur parisien8. Comme la majorité des manuscrits associés à Jean de Gmunden, celui-ci présente un contenu d’astronomie mathématique.

• 9 O. Weijers, Le maniement du savoir. Pratiques intellectuelles à l’époque des premières universités (...)

9Il serait vain de dresser une liste des sources éventuelles qui auraient pu conduire Jean de Murs à commenter son propre texte tant il est vrai que le commentaire, sous de multiples formes, est un habitus intellectuel non seulement du milieu universitaire dans lequel travaille Jean de Murs, mais bien au-delà de tout le Moyen Âge depuis l’Antiquité tardive9.

• 10 E. Poulle, Les tables alphonsines avec les canons de Jean de Saxe, Paris, CNRS éditions, 1984.
• 11 J. Chabas et B.R. Goldstein, The Alfonsine Tables of Toledo, Dordrecht, Kluwer, 2003.
• 12 F.S. Pedersen, The Toledan Tables : A Review of the Manuscripts and the Textual Versions with an Ed (...)

10Examinons donc d’abord le cas des textes astronomiques ou arithmétiques usuellement rédigés dans un style procédural. Les tables alphonsines avec les canons de Jean de Saxe, tels que les édite Emmanuel Poulle10, ne présentent pas de table de multiplication sexagésimale et de canon comparable à la Tabula tabularum. La version tolédane des canons alphonsins éditée par José Chabas et Bernard R. Goldstein11 ne présente pas non plus de canon comparable à la Tabula tabularum. En revanche, le corpus formé par les tables de Tolède présente une source qui aurait pu inspirer Jean de Murs. Il s’agit d’un court chapitre sur l’utilisation d’une table de multiplication sexagésimale pour l’interpolation linéaire. Ce chapitre est présent dans certains témoins des deux principales versions des canons aux tables de Tolède ayant circulé au Moyen Âge12.

• 13 La question de la structuration de l’ouvrage en paragraphes, chapitres et parties telles que nous l (...)

Figure 1 : Matières traitées par les canons de la Tabula tabularum¹³

• 14 La date de 1320 est celle retenue par E. Poulle (voir E. Poulle, « John of Lignières », Dictionary (...)

11Il faut remarquer, aux côtés de ces grands corpus tabulaires, le travail des astronomes parisiens proches de Jean de Murs. Parmi ceux-ci, Jean de Lignières a lui aussi porté une attention particulière aux fractions sexagésimales. Les canons des Tabule magne peuvent être datés de 1320-1325 environ14. Ils contiennent un long passage sur l’addition et la soustraction des fractions sexagésimales, ainsi qu’un chapitre sur l’utilisation d’une table donnant les parties proportionnelles.

• 15 L’Huillier, Le Quadripartitum Numerorum de Jean de Murs, p. 35.
• 16 Ibid., p. 36.
• 17 H. L. L. Busard, Het rekenen met breuken in de middeleuwen, in het bij zonder bii Johannes de Liner (...)

12Parmi les « algorismes », rédigés comme les canons des tables astronomiques dans un style procédural, ceux portant spécifiquement sur les fractions forment un groupe à part, notamment parce qu’ils ne présentent pas les opérations dans le même ordre que les algorismes d’entiers : ils commencent en général par la multiplication et la division au lieu de commencer par l’addition et la soustraction. On sait par des notes autographes dans les marges du manuscrit Paris, BnF, lat. 15461 que Jean de Murs a lu le Liber Algorismi de Jean de Tolède15. Le même moyen nous permet aussi de savoir que Jean de Murs a lu un autre petit texte du XIII^e siècle portant exclusivement sur les fractions sexagésimales dont l’incipit est Cum multos de numeris tractatus vidisses16. Il convient cependant de noter que l’on ne peut pas dater ces lectures et que la Tabula tabularum est une œuvre de jeunesse. Rédigé par Jean de Lignières, l’Algorismus minutiarum17, dont la datation est elle aussi incertaine, présente un algorisme complet des fractions sexagésimales et ordinaires qui a pu avoir des relations avec le texte de la Tabula tabularum.

• 18 Une ancienne édition de ce texte se trouve dans J.O. Halliwell-Philipps, Rara arithmetica, Londres, (...)

13À côté de ces algorismes de fractions, le Tractatus de arte numerandi de Jean de Sacrobosco18, véritable manuel médiéval d’apprentissage du calcul sur les entiers et les fractions à l’aide des chiffres arabes, est nécessairement à l’arrière-plan de la démarche de Jean de Murs.

• 19 E. Poulle, « Jean de Murs et les tables alphonsines », Archives d’histoire doctrinale et littéraire (...)

15Afin de pouvoir comprendre de quelle façon ces différents modèles d’écriture mathématiques ont guidé Jean de Murs dans sa volonté de faire d’une table de multiplication un outil universel de calcul, il est nécessaire d’essayer de retracer l’ordre de composition du texte. Nous n’obtiendrons pas de certitudes en cette matière, mais il est possible néanmoins de formuler des hypothèses plus que plausibles dans ce cas précis et plus généralement pour de nombreux textes de Jean de Murs. En effet, comme la plupart de ses éditeurs modernes l’ont remarqué, Jean de Murs ne polit pas ses textes qui circulent parfois dans différentes versions et portent souvent la trace de différentes phases de rédaction. Dans le domaine astronomique, ces caractéristiques mêmes avaient conduit Pierre Duhem à mal découper le texte de l’Expositio intentionis regis Alphonsii circa tabulas ejus et à en attribuer toute une partie à Guillaume de Saint-Cloud plutôt qu’à Jean de Murs19.

• 20 Une première annonce de plan se trouve dès l’introduction de l’ouvrage : Secundum ordinem quo hic p (...)
• 21 De exposicione tabule tabularum quantum ad ea que in mente mea occurrunt dicenda sufficiat ea que d (...)

16Une fois pris en compte, ces traits de l’écriture de Jean de Murs s’avèrent très informatifs pour l’historien. Dans le cas spécifique de la Tabula tabularum, plusieurs indices très simples permettent d’affirmer que le texte n’a pas été écrit d’un seul jet : tout d’abord, il comporte deux annonces de plans qui ne sont ni l’une ni l’autre exactes20 ; ensuite, il comprend deux conclusions, dont la première se trouve au milieu du texte21 ; enfin, et c’est en définitive l’indice le plus fécond, certains développements ne sont pas annoncés.

• 22 Pour reprendre dans ses propres termes un exemple de Jean de Murs, il s’agit de trouver un nombre a(...)
• 23 Pedersen, The Toledan Tables, vol. 1, p. 314.

17En effet, le quart final du texte est consacré au problème du calcul de la quatrième proportionnelle22. Cette opération est requise dans la manipulation des tables astronomiques à chaque fois qu’il est nécessaire d’interpoler entre deux entrées d’une table, et c’est précisément un cas particulier de cette procédure que l’on trouve dans les canons des tables de Tolède23. Ainsi, cette dernière partie n’a pas besoin d’être annoncée puisque dans un contexte astronomique, qui est bien celui de toutes les lectures connues de la Tabula tabularum, elle ne peut être absente. Il est donc légitime de penser que cette partie sur la quatrième proportionnelle, avec les descriptions de la table et de la façon de la construire, doit constituer le noyau originel du texte. Comment, à partir de ce point de départ modeste et classique, les différents modèles utilisés par Jean de Murs l’ont-ils conduit à un texte qui nous propose de calculer des racines carrées à l’aide d’une table de multiplication ?

• 24 Ces passages sur la multiplication et la division ont nécessairement été rédigés après le noyau tab (...)

18Résoudre le problème de la quatrième proportionnelle suppose évidemment d’effectuer une multiplication et une division ; Jean de Murs a donc rédigé deux séries d’instructions permettant de réaliser ces opérations à l’aide de la table24. D’apparence anodine, cette initiative de Jean de Murs est pourtant l’élément déclencheur de tout le processus qui l’a finalement conduit à tenter de faire de sa table un outil universel de calcul. Décrire et comprendre ce processus vont permettre de présenter plus finement les relations entre les différents modèles qui ont nourri le travail de Jean de Murs.

• 25 L’Algorismus minutiarum de Jean de Lignières est un exemple de ce lien entre nombre sexagésimaux et (...)

19Les sources astronomiques ne donnent pas d’instructions détaillées sur la manière d’effectuer une multiplication ou une division : ce travail est fait dans les algorismes. Ainsi, Jean de Murs, qu’il ait simplement fait appel à ses savoir-faire et à sa mémoire, ou qu’il se soit effectivement référé à des textes précis, a nécessairement glissé du contexte des textes astronomiques vers celui des algorismes. À cette première remarque sur les sources de la réflexion de Jean de Murs il faut en ajouter une seconde sur les nombres sexagésimaux. Ces nombres sont considérés comme une espèce particulière de fractions, propre au domaine astronomique, comme il existe d’autres familles de fractions pour les mesures de poids ou de longueurs par exemple. Ainsi, lorsque le calcul avec les nombres sexagésimaux est abordé, c’est en général dans les algorismes de fractions25. Cependant, les nombres sexagésimaux ont une dépendance très forte à l’égard des techniques de calcul sur les entiers avec les chiffres arabes, car dans le monde latin les soixante chiffres qui permettent de noter les fractions sexagésimales sont, comme c’est le cas encore aujourd’hui, les nombres entiers de 0 à 59 notés en chiffres arabes. Cette seconde remarque permet de comprendre que c’est à l’ensemble de la littérature d’algorisme et non à celle plus spécialisée portant sur les fractions que Jean de Murs se trouve confronté lorsqu’il entreprend de rédiger des séries d’instructions pour effectuer une multiplication et une addition à l’aide de sa table.

• 26 Scilicet numeracio, addicio, subtraccio, duplicacio, mediacio, multiplicacio, divisio, progressio e (...)
• 27 Sed tabulam in magis consideranti magis nova et mirabilia emergunt utilia circa numerosa alias^a ina (...)

21D’une façon plus significative encore, l’ouverture vers cette littérature entraîne un élargissement à la fois du champ des opérations arithmétiques qu’il devient possible d’envisager et du type de quantité auquel ces opérations peuvent être appliquées. Au-delà de la multiplication et de la division, nécessaires au calcul de la quatrième proportionnelle, se présentent l’addition, la soustraction, la médiation, la duplication, les calculs de carrés, de cubes et des racines éponymes, l’étude des progressions26. À l’évidence, une table de multiplication invite à la réflexion sur ces différentes opérations et sur leurs relations. Jean de Murs lui-même indique dans le texte : « Plus j’observe la table, plus y apparaissent des nouveautés et des merveilles utiles à propos des nombres que l’on ne trouve pas ailleurs27. »

• 28 H. L. L. Busard, Jordanus de Nemore, De Elementis Arithmetice Artis. A Medieval Treatise on Number (...)
• 29 Sur cet algorisme, voir L’Huillier, Le Quadripartitum Numerorum de Jean de Murs.

25Remarquons tout d’abord que Jean de Murs n’est pas le premier, tant s’en faut, à utiliser un style axiomatique pour traiter de nombres : le livre VII des Éléments d’Euclide est le précédent le plus évident, mais, plus proche de Jean de Murs, Jordanus de Nemore, dans son De arithmetica, utilise un style et des contenus provenant à la fois d’Euclide et de Boèce28, et un algorisme des fractions écrit par maître Gernardus est lui aussi rédigé dans le style euclidien29.

• 30 Porres, Les tables astronomiques, vol. III, p. 635 (ms. Paris, BnF, lat 7401, p. 115). Notons l’ajo (...)
• 31 Omne totum est maius sua parte (ibid., p. 635 ; ms. Paris, BnF, lat 7401, p. 115).

26Dans la Tabula tabularum, les secteurs en style axiomatique sont caractérisés par plusieurs traits spécifiques. Ce style axiomatique est d’abord marqué par la présence d’un vocabulaire particulier permettant de désigner les différentes sortes de principes. Il est repris aux Éléments d’Euclide : dignitates, diffiniciones, petitiones, supposiciones30. Ensuite, le style axiomatique est marqué par l’utilisation de certaines propositions fondamentales, partagées à l’époque par la philosophie naturelle et les mathématiques, comme par exemple, la première dignitas (notion commune) qui ouvre le secteur axiomatique sur la multiplication qui affirme : « Toute totalité est plus grande que sa partie31. »

• 32 Divisio est maioris numeri in tot partes distribucio quot sunt unitates in minori (Porres, Les tabl (...)

27Enfin, le style axiomatique est aussi signalé par l’utilisation d’une série de propositions courtes, affirmatives et descriptives, permettant de créer un domaine d’objets spécifiques. Ainsi, la première définition du secteur axiomatique sur la division indique, en reprenant l’expression à l’Algorisme de Sacrobosco : « La division est le partage du plus grand nombre en autant de parties qu’il y a d’unités dans le plus petit32. »

• 33 Pour un exemple précis sommairement décrit, voir la partie sur la prise de racine carrée à la fin d (...)

28Cependant, de la même façon que les procédures trouvées dans les algorismes ont dû être adaptées au contexte tabulaire33, le style axiomatique se trouve lui aussi altéré par le contexte particulier dans lequel il intervient. Ce contexte lui préexiste donc nécessairement.

• 34 H. L. L. Busard, Campanus of Novara and Euclid’s Elements, Stuttgart, Franz Steiner, 2005.

29L’ordre des différents types de principes est différent dans le secteur axiomatique sur la multiplication (notions communes, définitions, demandes, suppositions) et dans le secteur axiomatique sur la division (demandes, définitions, notions communes) ; il n’est, de plus, jamais conforme à l’ordre classique des Éléments tel qu’on le trouve dans la version de Campanus de Novare (définitions, demandes, notions communes)34. Sans même tenter d’interpréter dans le détail ces changements dans l’ordre des principes, on peut noter le relâchement qu’ils impliquent dans la structure logique des principes, comme une anomalie.

• 35 Ce phénomène est particulièrement manifeste dans les parties axiomatiques portant sur la nature des (...)
• 36 Omni multiplicacioni aliqualis addicio […] correspondet (Porres, Les tables astronomiques, vol. III (...)
• 37 Cum integrum in integrum ducitur maius et numero et quantitate productum compositum generatur (ibid (...)
• 38 On ne peut pas « additionner » un nombre négatif puisque ces derniers « n’existent » pas.

30Plus significativement, ces principes ne sont pas articulés à des propositions ou à des problèmes dont ils permettraient de justifier les solutions ou les démonstrations, mais ils précisent la nature des objets manipulés dans les parties procédurales, la signification et l’effet de ces manipulations35. Cette fonction de commentaire n’existe pas seulement vis-à-vis des parties procédurales, mais est en quelque sorte constitutive de la structure des secteurs axiomatiques : dans leur contenu même, certains principes sont des précisions et des commentaires à propos de principes précédents. Ainsi, par exemple, la dernière dignitas (notion commune) du secteur axiomatique sur la multiplication affirme : « Quelque addition correspond à chaque multiplication36. » Quelques lignes plus loin, la première petitio (demande) du même secteur axiomatique indique : « Par la multiplication d’un entier par un entier on en génère un produit composé plus grand et en nombre et en quantité37. » Sachant que les additions sont caractérisées par le fait qu’elles aboutissent toujours à des augmentations38, cette seconde proposition peut bien être comprise comme un commentaire et une précision apportés à la première puisqu’elle nous indique quel type de multiplication aboutit à une augmentation et nous permet ainsi de comprendre pourquoi les multiplications sont une espèce de l’addition.

• 39 Integris extensis per fractiones idem genus provenit fractionis (ibid.).

31Enfin, les parties axiomatiques contiennent parfois des propositions qui ont probablement été extraites des parties procédurales où elles devaient se trouver initialement. Par exemple, la troisième demande du secteur axiomatique sur la multiplication indique : « Un même genre de fractions est produit lorsque des entiers sont multipliés par des fractions39. »

• 40 Jean de Murs propose l’exemple de la division de 1;14 par 3 qui donne en deux lectures le résultat (...)

37Puisqu’elle implique une lecture inversée de la table, la procédure de division marque de manière assez nette une symétrie avec celle de la multiplication. Néanmoins, le fait que certaines divisions ne soient pas exactes et donc ne peuvent être achevées devrait marquer une altérité très forte. Dans sa présentation des procédures, Jean de Murs passe ce cas sous silence et met donc en valeur la symétrie des deux opérations40.

• 42 Notamment les canons des Tabule magne de Jean de Lignières et les Tabule permanentes de Jean de Mur (...)

41Si l’élaboration de cette structure est remarquable, elle est considérablement affaiblie par le fait qu’elle passe sous silence des dissymétries évidentes et importantes entre addition et soustraction d’une part, et entre division et multiplication d’autre part. La dissymétrie entre l’addition et la soustraction tient au fait qu’il n’est pas possible de soustraire le plus grand du plus petit. Jean de Murs n’aborde pas ce problème dans la Tabula tabularum, mais d’autres écrits astronomiques de la même période l’abordent, quoique d’une façon originale42. La dissymétrie entre multiplication et division est double : comme dans le cas de la soustraction, il est en principe impossible de diviser un plus petit par un plus grand ; certaines divisions ne sont pas exactes et ne peuvent être achevées. Au contraire des précédentes, ces deux difficultés sont travaillées par le texte.

• 45 Aristote traite de la définition des quantités continues et de leurs propriétés principalement en P (...)

45L’extrait souligne nettement deux éléments : la réciprocité des deux opérations ; le rapport inversé des deux opérations aux quantités continues et discrètes. On voit en outre clairement que sur ce second point, Jean de Murs reprend les deux manières classiques de dériver les nombres entiers : par division, potentiellement infinie, d’une quantité continue en unités de plus en plus petites ; par addition, potentiellement infinie, d’unités abstraites de plus en plus nombreuses. Ces deux définitions vont constituer le cœur de la réflexion de Jean de Murs sur la nature des nombres dans la Tabula tabularum45. Toutefois, avant d’atteindre ces hauteurs spéculatives, revenons à des considérations plus simples sur la structure des objets numériques rencontrés dans le texte.

• 46 Cette ambiguïté ne joue pas seulement au niveau de la notation des nombres, mais aussi au niveau du (...)

47Comme nous l’avons fait remarquer brièvement dans la seconde partie de cette étude, il convient de distinguer, et les auteurs médiévaux le font très bien, les chiffres qui servent à noter le nombre du nombre lui-même : ainsi dans l’écriture décimale classique, les chiffres sont les signes de 0 à 9 et ils sont utilisés pour écrire les nombres au moyen d’un codage positionnel. Les expressions sexagésimales que nous rencontrons dans la Tabula tabularum sont intéressantes lorsqu’on les considère sous cet angle puisque les chiffres sexagésimaux, dans nos exemples – 56, 47, 4 et 24 – sont des nombres décimaux46.

• 47 Il indique simplement qu’un nombre quelconque peut compter (numerare) tant un entier qu’une fractio (...)
• 48 Poulle, Les tables alphonsines, p. 30.

48En outre, ces nombres sexagésimaux à deux places sont en effet utilisés pour effectuer de manière récursive des opérations sur des nombres et fractions sexagésimaux quelconques. Jean de Murs n’expose qu’en passant le dispositif d’interprétation qui lui permet d’utiliser ces nombres de cette manière47. Il ressort cependant clairement des passages décrivant les procédés de calculs que ce principe est de considérer les nombres sexagésimaux à deux positions présents dans la table comme à « unités flottantes ». Suivant l’opération qui doit être effectuée, la plus petite unité représente des degrés, des minutes, des tierces ou des secondes. Ce principe est clairement utilisé, de manière implicite, dans les procédures de calculs de multiplication et de division et sera adopté uniformément dans une grande partie des tables alphonsines en langue latine constituant l’une de leurs spécificités48.

• 50 Si tous les types de nombres peuvent bel et bien être exprimés, il n’en va pas de même bien entendu (...)

51Les différents niveaux d’interprétation se superposent les uns aux autres pour former en définitive un objet numérique complexe mêlant écritures décimale et sexagésimale et permettant d’exprimer, au moins de manière approchée, sous une seule et même convention, tous les types de nombres et de fractions manipulés classiquement dans les algorismes médiévaux50.

• 51 C. Proust, « Quantifier et calculer : usages des nombres à Nippur », Revue d’Histoire des Mathémati (...)

53Jean de Murs retrouve ici un ensemble de propriétés inhérentes aux systèmes numériques sexagésimaux dès leurs origines mésopotamiennes51. Ainsi, ce qui est important historiquement n’est pas tant la présence de ces propriétés que leur formulation explicite et les réflexions que cette formulation suscite dans le contexte spécifique où ces énonciations apparaissent.

• 52 En cela, cette œuvre est bien un produit caractéristique de la Faculté des Arts de l’Université de (...)

54Le trait propre de la Tabula tabularum est la sortie effectuée dans ce texte hors du cadre strict des textes d’astronomie pratique, d’abord vers les algorismes, puis vers les arithmétiques plus théoriques ou même certains textes aristotéliciens52. Le premier de ces déplacements, vers les algorismes, rend particulièrement problématique la dernière des trois propriétés qui caractérisent le système numérique utilisé par la Tabula tabularum. Le problème peut d’autant moins être esquivé qu’il surgit explicitement dans les procédures mêmes permettant de réaliser des opérations telles que la division ou la prise de racine. La partie précédente nous a montré que, dans le cadre de sa réflexion sur la nature des opérations arithmétiques, Jean de Murs associe cette problématique à celle des deux possibilités de générations du nombre : par addition d’unités abstraites ou par division d’un continu. Notre astronome poursuit cette réflexion directement au niveau de la nature des objets numériques.

• 53 […] usque ad minimas fractiones eo modo quo poteris vicinius veritati (Porres, Les tables astro nom (...)
• 54 Léonard de Pise, Liber abaci, chap. 14. 2. On peut consulter la traduction anglaise de L.E. Sigler, (...)

55C’est à l’occasion d’un commentaire sur la procédure de prise de racine carrée que Jean de Murs fait une première remarque intéressante à ce sujet. Dans un premier temps, il observe que les carrés se trouvent sur la diagonale et propose une procédure qui calque celle de la division : si l’on cherche la racine d’un nombre qui n’est pas un carré parfait, on prend la racine du carré parfait qui lui est immédiatement inférieur puis on recommence l’opération avec le reste et on poursuit la procédure jusqu’aux plus petites fractions de manière à être proche de la vérité53. Bien entendu cette procédure est erronée et lorsqu’il passe ensuite à un exemple numérique, il applique une tout autre procédure empruntée à Léonard de Pise54. Avec cette procédure, Jean de Murs se heurte aux limites conceptuelles de sa propre entreprise. Il n’est donc pas étonnant que les commentaires que cette procédure suscite soient intéressants :

• 56 C. Lüthy, J. E. Murdoch et W. R. Newman, Late Medieval and Early Modern Corpuscular Matter Theories(...)
• 57 Les critères que doivent respecter les objets choisis comme unités dans un domaine particulier sont (...)

56Ce passage suit immédiatement celui dans lequel Jean de Murs décrit sa procédure récursive de calcul de racine carrée et précède l’exemple numérique qui ne la met pas en application. Très riche, cet extrait pourrait être commenté dans bien des directions. Par exemple, Jean de Murs se réfère à la doctrine dite des Minima naturalia pour justifier le fait qu’il existe une limite à la division des corps physiques56. La fin du passage pourrait aussi être développée de façon à préciser le lien effectué entre l’utilisation d’approximations en astronomie avec l’une des discussions que propose Aristote sur les critères de choix d’une unité pour une grandeur particulière : en effet, selon les critères aristotéliciens de choix de l’unité, celle-ci doit être le plus petit élément distinguable par les sens57. Sans nous engager sur ces chemins de traverse, soulignons simplement qu’entre les deux possibilités de génération du nombre, Jean de Murs choisit clairement : les nombres sexagésimaux sont causés par la division des quantités continues. Ces quantités continues sont dans les corps, il y a donc une limite naturelle à la division de ces quantités. Les nombres et fractions sexagésimaux sont bien des collections d’unités. Il s’agit donc de quantités discrètes. Ces unités cependant ont des propriétés bien particulières et sont très liées à la fois à la quantité continue et aux objets physiques.

• 58 Omne unum in semper divisibilia divisibile^a reputatur [a. divisibile om. in P] (ms. Paris, BnF, lat (...)

58C’est dès l’ouverture de son texte, dans la partie axiomatique sur la multiplication, qu’il formule partiellement cette position d’une manière ramassée et provocante, en associant clairement la notion d’unité à la définition que donne Aristote des quantités continues : « Toute unité est considérée comme toujours divisible par des divisibles58. »

• 59 Jean de Murs était sensible à ce type de motivations puisque c’est précisément ce style axiomatisé (...)

59Cette dernière citation nous permet finalement de revenir, par deux nouvelles remarques, sur le rôle et la fonction des secteurs axiomatiques du texte. Tout d’abord, la complexité des problématiques mathématiques soulevées, l’échec aussi des tentatives autour de la procédure de calcul des racines carrées appelaient pour leur dépassement l’utilisation d’un style d’écriture à la fois plus précis, plus compact et susceptible d’une structuration logique plus forte. Si elle avait abouti, c’est-à-dire si elle avait conduit à une réécriture des secteurs procéduraux du texte (qui ne renvoient jamais aux secteurs axiomatiques), cette axiomatisation aurait élevé l’art du calcul avec la « table des tables » au statut de science démonstrative, légitimant du même coup la possibilité de son enseignement59.