• 1 Rashed établit l’édition critique principalement à partir de deux manuscrits connus, conservés à l (...)

1Le livre sous recension complète la belle collection « Scientia Graeco-Arabica » (De Gruyter) d’une nouvelle édition critique, accompagnée d’une traduction française inédite (en face à face) et d’un long commentaire (71 pages), d’un texte mathématique essentiel pour l’histoire des mathématiques en pays d’Islam : al‑Bāhir fī al‑jabr [Le brillant en algèbre] d’al‑Samaw’al ibn Yaḥyā al‑Maghribī (né à Bagdad et mort en 570H/1174-1175 à Maragha en Iran)1. L’auteur est connu pour plusieurs publications en mathématiques et en médecine (p. x-xii) ; il s’intéresse aussi à la philosophie des mathématiques et, notamment, à la théorie de la démonstration. Originaire de Fès par son père (rabbin de la ville) et de Bassorah par sa mère, al‑Samaw’al voyage en Orient « entre Bagdad, l’Azerbaïdjan occidental et le nord de l’Iran » où il fréquente plusieurs importants centres scientifiques (p. x).

• 2 Parmi les ouvrages de ces deux auteurs qu’al‑Samaw’al connaissait, citons le Kitāb al‑jabr wa al‑m (...)

2Dans cet ouvrage, considéré comme « le premier traité en algèbre arithmétique » (p. vii), publié environ trois siècles après l’ouvrage séminal d’al‑Khwārizmī (m. ca. 850), al‑Samaw’al se place dans la continuité des algébristes tels qu’al‑Khwārizmī lui-même, et surtout Abū Kāmil (m. 930) ou encore al‑Karajī (m. 1029) dont il partage pleinement le projet d’arithmétisation de l’algèbre2. L’objectif est « d’appliquer systématiquement à l’algèbre toutes les opérations de l’arithmétique », aboutissant ainsi à l’algèbre des polynômes (p. xv). En particulier, al‑Samaw’al définit, à la suite d’al‑Karajī, les puissances entières et les inverses des puissances de l’inconnue (shay’, la chose) par induction. Le projet d’al‑Samaw’al (repris d’al‑Karajī) est d’opérer sur χ – l’inconnue ou la chose – et 1∕_χ – son inverse – comme sur les rationnels, c’est-à-dire les connus (p. xvi, 1), tout en posant des questions ontologiques sur la chose et l’unité notamment.

• 3 À propos du texte arabe d’al‑Badī^ʿ, voir Adel Anbouba, Kitāb al‑badīʿ fī al‑ḥisāb [Le livre al‑Bad (...)

3Al‑Bāhir est constitué de quatre livres [kitāb] (composés de chapitres [bāb], de sections [faṣl] voire de tomes [jumla] pour le Livre 3) dont le contenu est largement détaillé dans une table des matières en début d’ouvrage (p. 1-5). Se plaçant dans la filiation directe d’al‑Karajī, il fait montre, au détour des différents chapitres, de larges commentaires du fameux al‑Badī^ʿ fī al‑ḥisāb [le merveilleux dans la science du calcul], tout en le développant à l’aune de ses lectures et de ses propres connaissances3.

• 4 Voir, à ce propos, l’étude (maintenant ancienne) du même auteur qui jette les bases historiques de (...)

4Dans le premier livre (p. 6-62), « sur les prémisses, la multiplication, la division, le rapport et l’extraction de racines », al‑Samaw’al donne à voir le cœur de son projet mathématique, celui de l’arithmétisation de l’algèbre4. Il s’agit pour le mathématicien d’« aplanir la voie pour opérer sur les inconnues au moyen de tous les instruments arithmétiques, comme l’arithméticien opère sur les connues » (p. 1).

• 5 Maqāla li-Qusṭā ibn Lūqā fī al‑burhān ^ʿalā ^ʿamāl ḥisāb al‑khaṭa’ayn [Traité de Qusṭā ibn Lūqā sur (...)

5Dans le second livre (p. 63-149), « sur la détermination des inconnues », al‑Samaw’al s’intéresse précisément à l’algèbre, comme « partie de l’art de l’analyse » (p. 63), en opposition au caractère synthétique de la géométrie. Représentant plus du tiers d’al‑Bāhir, c’est le livre le plus important quantitativement. Sont précisément exposés les équations algébriques et les moyens de les résoudre avec, notamment, la résolution des équations des deux premiers degrés et la démonstration des algorithmes. Al‑Samaw’al n’étend pas la résolution par radicaux des équations menée par les algébristes avant lui, en considérant les équations de degrés strictement supérieurs à 2. En effet, il ne s’aventure pas plus loin que l’étude des équations de degré 2, déjà bien connue depuis le ix^e siècle avec al‑Khwārizmī. Y sont aussi développées l’analyse indéterminée rationnelle (équations diophantiennes) pour laquelle, à nouveau, il commente et complète l’œuvre d’al‑Karajī, et les méthodes de double fausse position (cinquième chapitre, réduit à une seule section) avec une référence explicite à la démonstration donnée par Qusṭā ibn Lūqā (m. 912)5. C’est précisément dans ce livre qu’al‑Samaw’al démontre la formule du binôme (développement de (p ₊ q)^п avec п entier positif) en établissant le tableau des coefficients binomiaux (connu plus tard comme le triangle de Pascal) jusqu’à 12, en expliquant sa construction (p. 101-102) ; il calcule, aussi, diverses sommes de suites arithmétiques par induction.

• 6 Une traduction française était déjà disponible dans Ahmed Djebbar, L’algèbre arabe, genèse d’un ar (...)
• 7 Pour illustrer son propos, al‑Samaw’al donne plusieurs exemples remontant à des problèmes non réso (...)

8Rashed augmente l’édition critique d’al‑Bāhir fī al‑jabr d’al‑Samaw’al de l’édition critique de deux autres textes très brefs (sous la forme de deux appendices) : « Sur l’explication de la vérité de l’irrationnel et du rationnel » d’une part et « Le progrès de la connaissance scientifique » d’autre part. La lecture du deuxième appendice6 est particulièrement intéressante pour comprendre la conception des mathématiques chez al‑Samaw’al, nettement envisagées comme discipline cumulative7. Il en est de même pour les sciences en général : « l’ensemble des sciences ne s’est développé que par la voie de l’extension et de la ramification ; et cela ne s’arrête pas à un terme qu’il serait peu probable de franchir » (p. 249). Pour R. Rashed, le progrès scientifique est vu par al‑Samaw’al comme « indéfini par accumulation des acquis » (p. xii).